【DP优化】【P1430】序列取数

Description

给定一个长为n的整数序列，由A和B轮流取数（A先取）。每个人可从序列的左端或右端取若干个数（至少一个），但不能两端都取。所有数都被取走后，两人分别统计所取数的和作为各自的得分。假设A和B都足够聪明，都使自己得分尽量高，求A的最终得分。

Input

第一行，一个正整数T，表示有T组数据。

接着T行，每行第一个数为n，接着n个整数表示给定的序列.

Output

输出T行，每行一个整数，表示A的得分

Sample Input

Sample Output

-1

3

Hint

时限3s。

对于100%的数据，$n \leq 1000, T \leq 100$

Solution

显然是博弈DP。考虑设$f_{i,j}$是区间$[i,j]$先手取数的最大答案。转移显然为

$f_{i,j}=sum_j-sum_i-min｛f_{k,j},f_{i,k}｝$，其中满足$i~<~k~<~j$。枚举$k$进行转移，复杂度是$O(n^3)$。直接凉凉。

状态已经是$O(n^2)$无法优化。考虑对转移进行优化。考虑枚举$k$是求一定区间内$f$的最大值。这个$f$的区间是从小到大枚举的，所以可以维护区间内$f$的最大值。具体的，设$l_{i,j}$代表$max｛f_{i,k}｝$，$r_{i,j}$代表$max｛f_{k,r}｝$，其中满足$i~<~k~<~j$。

这样转移方程就变成$f_{i,j}=sum_j-sum_i-min｛l_{i,j},r_{i,j}｝$。这样使用DP对DP进行优化，转移变成$O(1)$的，可以通过本题。

其中$l_{i,j}=max｛l_{i,j-1},f_{i,j}｝$，$r$的转移同理。

Code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#define rg register

#define ci const int

#define cl const long long int

typedef long long int ll;

namespace IO {

    char buf[50];

}

template<typename T>

inline void qr(T &x) {

    char ch=getchar(),lst=' ';

    while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar();

    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();

    if (lst=='-') x=-x;

}

template<typename T>

inline void write(T x,const char aft,const bool pt) {

    if(x<0) {putchar('-');x=-x;}

    int top=0;

    do {

        IO::buf[++top]=x%10+'0';

        x/=10;

    } while(x);

    while(top) putchar(IO::buf[top--]);

    if(pt) putchar(aft);

}

template <typename T>

inline T mmax(const T a,const T b) {if(a>b) return a;return b;}

template <typename T>

inline T mmin(const T a,const T b) {if(a<b) return a;return b;}

template <typename T>

inline T mabs(const T a) {if(a<0) return -a;return a;}

template <typename T>

inline void mswap(T &a,T &b) {T temp=a;a=b;b=temp;}

const int maxn = 1010;

int t,n;

int MU[maxn],frog[maxn][maxn],lmax[maxn][maxn],rmax[maxn][maxn],sum[maxn];

void clear();

int main() {

    qr(t);

    while(t--) {

        clear() ;

        qr(n);

        for(rg int i=1;i<=n;++i) qr(MU[i]);

        for(rg int i=1;i<=n;++i) lmax[i][i]=rmax[i][i]=frog[i][i]=MU[i],sum[i]=sum[i-1]+MU[i];

        for(rg int i=1;i<n;++i) {

            for(rg int j=1;j<n;++j) {

                rg int r=i+j;if(r>n) break;

                frog[j][r]=sum[r]-sum[j-1]-mmin(0,mmin(lmax[j][r-1],rmax[j+1][r]));

                lmax[j][r]=mmin(frog[j][r],lmax[j][r-1]);rmax[j][r]=mmin(frog[j][r],rmax[j+1][r]);

            }

        }

        write(frog[1][n],'\n',true);

    }

    return 0;

}

void clear() {

    memset(MU,0,sizeof MU);

    memset(sum,0,sizeof sum);

    memset(frog,0,sizeof frog);

    memset(lmax,0,sizeof lmax);

    memset(rmax,0,sizeof rmax);

    n=0;

}

Summary

在DP因为复杂度较高而无法承受时，考虑对转移进行优化。常见的如维护区间最大/最小值，通过数据结构或者DP进行优化。