[Luogu]A%BProblem——线性筛素数与前缀和

题目描述

题目背景

题目名称是吸引你点进来的【你怎么知道的】

实际上该题还是很水的【有种不祥的预感。。】

题目描述

区间质数个数

输入输出格式

输入格式：

一行两个整数 询问次数n，范围m接下来n行，每行两个整数 l,r 表示区间。

输出格式：

对于每次询问输出个数 t，如l或r∉[1,m]输出 Crossing the line

输入输出样例

输入样例：

2 5

1 3

2 6

输出样例：

2

Crossing the line

说明

数据范围和约定

对于20%的数据 1<=n<=10 1<=m<=10

对于100%的数据 1<=n<=1000 1<=m<=1000000 -10^9<=l<=r<=10^9 1<=t<=1000000【吓死我了。。】

题目分析

这题是一道相对基础的数论题，就是求区间素数。然而普通的暴力枚举是绝对会超时的，在这里就不给出暴搜代码了(写了好久的优化，连暴搜都不会写了…)，那么，如何改进算法呢？这里给出两个优化：线筛素数和前缀和(如果神牛有更好的意见请无视其方法并在下方评论写出最优方案，本蒟蒻需要你们的帮助，飞出垃圾堆…)

百科·线性筛素数

用筛法求素数的基本思想是：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列， 1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。(本方法由欧拉大佬荣誉出品~)

前缀和

先分解为一个小问题：

给定n个数ai以及m个询问。

每次询问一段区间的和。

复杂度O(n+m)。

我们可以这样想：

令s[i]=s[i−1]+a[i]" role="presentation" style="position: relative;">s[i]=s[i−1]+a[i]s[i]=s[i−1]+a[i]。

于是有s[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]" role="presentation" style="position: relative;">s[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]s[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]。

求∑a[i]|(i=l,l+1...,r)" role="presentation" style="position: relative;">∑a[i]|(i=l,l+1...,r)∑a[i]|(i=l,l+1...,r)相当于是s[r]−s[l−1]" role="presentation" style="position: relative;">s[r]−s[l−1]s[r]−s[l−1].

我们可以先用欧拉大佬的线筛素数求出区间1~R的素数个数再减去1~L的素数个数即为答案。嗯….于是…就有了代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,l,r,cont[1000005];
bool isPrime[1000005];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(isPrime,0,sizeof(isPrime));
    isPrime[1]=true;
    for(int i=2;i<=sqrt(m);i++)
    {
        if(isPrime[i]==0)
        {
            for(int j=2*i;j<=m;j+=i)
            isPrime[j]=true;
            cont[i]=cont[i-1]+1;
        }
        else cont[i]=cont[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        if(l<1||r>m)
        printf("Crossing the line\n");
        else
        printf("%d\n",cont[r]-cont[l-1]);
    }
}