RMQ算法 (ST算法)
概述:
RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询,是指这样一个问题:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j之间的最小/大值。对于一次查询,可以暴力地O(n),但是当查询次数很多的时候,这样的暴力就无法进行了。这时我们可以通过RMQ算法来解决这个问题。
RMQ(ST):(关于学习RMQ的博客:框架即讲解比较详细 , 具体代码比较好)
ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。
首先是预处理,用动态规划(DP)解决。设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7,F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。 F[1,2]=5,F[1,3]=8,F[2,0]=2,F[2,1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样,DP的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把F[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i,j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。
然后是查询。取k=[log2(j-i+1)],则有:RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明,要求区间[2,8]的最大值,就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。
int vec[MAX_N];
int dp[MAX_N][];
void ST(int N)
{
for(int i=;i<=N;i++) dp[i][] = vec[i];
for(int j=;(<<j) <= N;j++)
{
for(int i=;i+(<<j)-<=N;i++)
{
dp1[i][j] = max(dp[i][j-],dp[i+(<<j-)][j-]); //由于移位操作的优先度低,1<<j-1 = 1<<(j-1);
}
}
}
int RMQ(int l,int r)
{
int k = ;
while((<<k+) <= r-l+) k++;
return max(dp1[l][k],dp1[r-(<<k)+][k]);
}
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N = 5e4+;
const int INF = 1e9+;
int vec[MAX_N];
int dp1[MAX_N][];
int dp2[MAX_N][];
void ST(int N)
{
for(int i=;i<=N;i++) dp1[i][] = dp2[i][] = vec[i];
for(int j=;(<<j)<=N;j++)
{
for(int i=;i+(<<j)- <= N;i++)
{
dp1[i][j] = max(dp1[i][j-],dp1[i+(<<j-)][j-]);
dp2[i][j] = min(dp2[i][j-],dp2[i+(<<j-)][j-]);
}
}
}
int RMQ(int l,int r)
{
int k = ;
while((<<k+) <= r-l+) k++;
return max(dp1[l][k],dp1[r-(<<k)+][k]) - min(dp2[l][k],dp2[r-(<<k)+][k]);
}
int main()
{
int N,M,T;
while(cin>>N>>M)
{
for(int i=;i<=N;i++)
{
scanf("%d",&vec[i]);
}
ST(N);
for(int i=;i<M;i++)
{
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
int ans = RMQ(l,r);
printf("%d\n",ans);
}
}
return ;
}
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