[bzoj 1025][SCOI2009]游戏（DP）

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1025

分析：首先这个问题等价于A1+A2+……Ak=n，求lcm(A1,A2，……，Ak)的种数

考虑一个Lcm=p1^a1 * p2^a2 * …… pk^ak 是否可能出现

WJMZBMR提出，能出现的充要条件是p1^a1+p2^a2+……+pk^ak<=n

证明：

先证必要性：

　　∵p1^a1 p2^a2 …… pk^ak 这k个数的最小公倍数正好是lcm 且 k<n （n以内的质数的个数肯定比n小啊）

　　∴可以把n分解成n=p1^a1 + p2^a2 …… +pk^ak + 1 + ……+1 (n-k个1），1对最小公倍数的大小lcm无影响

　　∴就存在这样的分解方案使得lcm能出现

再证充分性：

　　假设p1^a1+p2^a2+……+pk^ak>n

　　看个例子：27=12+8+6+1=2*2*3+2*2*2+2*3+1

　　他们的lcm=24=1^1 * 2^3 * 3^1

　　这个lcm如何求出来的呢？我们看看2的指数如何定：12分解质因数有2个2,8分解质因数有3个2,6分解质因数有1个2，所以lcm中2的指数就是max{2,3,1}=3，　　以3为底数的指数也是如此求法。也就是说lcm里的每个质数对应的指数是对n分解的每一项中该质数个数的最大值！！！！

　　那么也就说对n的拆分里面，一定至少有一项含因子p1^a1，即对n的拆分里，一定至少有一项是p1^a1的倍数，同理也至少有一项分别是p2^a2 p3^a3 ……的　　倍数，不妨设是b1*p1^a1 b2*p2^a2 ……

　　那么现在p1^a1+p2^a2+……+pk^ak>n

　　b1*p1^a1+b2*p2^a2+……+bk*pk^ak>n

　　注意bi*pi^ai是n的拆分中的一项，所以b1*p1^a1+b2*p2^a2+……+bk*pk^ak=n

　　很明显上面两个式子冲突了

　　于是假设不成立，一定有p1^a1+p2^a2+……+pk^ak<=n

综上所述，原问题等价于求满足p1^a1 + p2^a2 +…… pk^ak<=n的数列(a1,a2,...,ak)一共有多少个

这显然就是背包问题了……GG

这种神题只能欣赏了Orz……