2018.06.26 Dominator Tree--支配树

在学习支配树之前，请保证已经会写lca（tarian求法）

简介

支配树是什么？支配树能干什么？

• 对于一个DAG" role="presentation" style="position: relative;">DAGDAG上的每个点w" role="presentation" style="position: relative;">ww，都存在点d" role="presentation" style="position: relative;">dd满足去掉d" role="presentation" style="position: relative;">dd之后起点无法到达w" role="presentation" style="position: relative;">ww，我们称作d" role="presentation" style="position: relative;">dd支配w" role="presentation" style="position: relative;">ww，d" role="presentation" style="position: relative;">dd是w" role="presentation" style="position: relative;">ww的一个支配点。T" role="presentation" style="position: relative;">TT中节点u" role="presentation" style="position: relative;">uu是u" role="presentation" style="position: relative;">uu子树中所有节点的支配点（必经点），
• 支配w" role="presentation" style="position: relative;">ww的点可以有多个，但是至少会有一个。显然，对于起点以外的点，它们都有两个平凡的支配点，一个是自己，一个是起点。
• 在支配w" role="presentation" style="position: relative;">ww的点中，如果一个支配点i≠wi≠w" role="presentation" style="position: relative;">i≠wi≠wi≠wi≠w满足i" role="presentation" style="position: relative;">ii被w" role="presentation" style="position: relative;">ww剩下的所有非平凡支配点支配，则这个i" role="presentation" style="position: relative;">ii称作w" role="presentation" style="position: relative;">ww的最近支配点(immediatedominator)" role="presentation" style="position: relative;">(immediatedominator)(immediatedominator)，记作idom(w)" role="presentation" style="position: relative;">idom(w)idom(w)。

如果我们把图的起点称作s" role="presentation" style="position: relative;">ss，那么除s" role="presentation" style="position: relative;">ss以外每个点均存在唯一的idom" role="presentation" style="position: relative;">idomidom。于是，连上所有r" role="presentation" style="position: relative;">rr以外的idom(w)→widom(w)→w" role="presentation" style="position: relative;">idom(w)→widom(w)→widom(w)→widom(w)→w的边，就能得到一棵树，其中每个点支配它子树中的所有点，它就是支配树。

下面我们来考虑一个问题：给定一个起点s" role="presentation" style="position: relative;">ss和一个终点t" role="presentation" style="position: relative;">tt，询问删掉哪些点能够使s" role="presentation" style="position: relative;">ss无法到达t" role="presentation" style="position: relative;">tt。

不难发现，支配点与割点并不相同，我们可以用某位大佬的图证明这一观点



显然在这种情况中即使我们割掉割点依然能使s" role="presentation" style="position: relative;">ss走到t" role="presentation" style="position: relative;">tt点。所以我们没有办法使用割点来解决这个问题。

那么我们如何处理这个问题呢？？？

如果该DAG" role="presentation" style="position: relative;">DAGDAG是一棵树，那没什么好说的，显然有fa[u]==idom[u]" role="presentation" style="position: relative;">fa[u]==idom[u]fa[u]==idom[u],那么路径s−>v" role="presentation" style="position: relative;">s−>vs−>v上的点都应该是支配点，直接O（n）" role="presentation" style="position: relative;">O（n）O（n）解决了

如果不是树该肿么办？我们考虑用拓扑序建立支配树：

由于我们是根据拓扑序来进行处理的那么当我们处理到第i" role="presentation" style="position: relative;">ii个节点u" role="presentation" style="position: relative;">uu时，第1" role="presentation" style="position: relative;">11~i+1" role="presentation" style="position: relative;">i+1i+1个节点显然已经处理完了，对于所有能够直接到达点u" role="presentation" style="position: relative;">uu的节点，我们求出它们在支配树上的lca" role="presentation" style="position: relative;">lcalca v" role="presentation" style="position: relative;">vv，这个点v" role="presentation" style="position: relative;">vv就是点u" role="presentation" style="position: relative;">uu在支配树上的父亲。

如果使用倍增求lca" role="presentation" style="position: relative;">lcalca，那么O((n+m)log2n)" role="presentation" style="position: relative;">O((n+m)log2n)O((n+m)log2n)的时间内实现。