[物理学与PDEs]第2章第4节 激波 4.1 间断连接条件

1.  守恒律方程 $$\bex \cfrac{\p f}{\p t}+\cfrac{\p q}{\p x}=0 \eex$$ 在间断线上应满足 ``间断连接条件'': $$\bex [f]\cfrac{\rd x}{\rd t}=[q]. \eex$$

2.  对一维理想流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p\rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p t}(\rho u) +\cfrac{\p}{\p x}(\rho u^2+p)&=\rho F,\\ \cfrac{\p}{\p t}\sex{\rho e+\cfrac{1}{2}\rho u^2} +\cfrac{\p}{\p x}\sez{\sex{ \rho e+\cfrac{1}{2}\rho u^2+p }u}&=\rho Fu, \eea \eeex$$ 其间断连接条件为 $$\beex \bea [\rho]\cfrac{\rd x}{\rd t}&=[\rho u],\\ [\rho u]\cfrac{\rd x}{\rd t}&=[\rho u^2+p],\\ \sez{\rho e+\cfrac{1}{2}\rho u^2}\cfrac{\rd x}{\rd t} &=\sez{\sex{\rho e+\cfrac{1}{2}\rho u^2}u}. \eea \eeex$$ 此称为 Rankine-Hugoniot (R.H.) 条件.

3.  设 $U=\cfrac{\rd x}{\rd t}$ 为间断的传播速度, 记 $$\bex v_\pm=u_\pm-U, \eex$$ 则 R.H. 条件可化为 $$\beex \bea \rho_-v_-&=\rho_+v_+,\\ \rho_-v_-^2+p_-&= \rho_+v_+^2+p_+,\\ \sex{\rho_-e_-+\cfrac{1}{2}\rho_-v_-^2+p_-}v_-&=\sex{\rho_+e_++\cfrac{1}{2}\rho_+v_+^2+p_+}v_+. \eea \eeex$$

4.  记 $m=\rho_-v_-=\rho_+v_+$, 则

(1)  若 $m=0$, 则 $x=x(t)$ 为接触间断 (contact discontinuity), 此时, $$\bex v_-=v_+=0\ra u_+=u_-=U, \eex$$ 该间断线随流体一以同一速度运动, 无流体越过间断线.

(2)  若 $m\neq 0$, 则 $x=x(t)$ 为激波, 在越过激波时, 由 R.H. 条件可导出各热力学量应满足的方程. 比如 $$\bex H(\tau,p;\tau_0,p_0)\equiv e(\tau,p)-e_0(\tau,p) +\cfrac{1}{2}(p_0+p)(\tau-\tau_0)=0.  \eex$$ 此称为 Hugoniot 方程或热力学激波条件 (只依赖于热力学量 $\tau$, $p$). 另外, $v_-$, $v_+$ 同号. 若同为负号, 则 $u_-,u_+<U$, 而流体自右向左越过激波, 而激波相对于流体来说向右运动, 称为右传播激波; 若同为负号, 则称为左传播激波 (书 P 134).