30(1).原型聚类---k-means

原型聚类prototype-based clustering假设聚类结构能通过一组原型刻画。

常见的原型聚类有：

1. k均值算法k-means
2. 学习向量量化算法Learning Vector Quantization：LVQ
3. 高斯混合聚类Mixture-of-Gaussian

一、k-means算法

1.k-means

1.1 给定样本集$D=\{X_1,X_2,...,X_N \}$，假设一个划分为$C=\{C_1,C_2,...,C_K\}$，定义该划分的平方误差为：

$err=\sum_{k=1}^K \sum_{x=1,X_i \in C_k} ||X_i - u_k||_2^2$，其中$u_k = \frac{1}{|C_k|} \sum_{X_i \in C_k}X_i$是簇$C_k$的均值向量。

$err$刻画了簇类样本围绕簇均值向量的紧密程度，其值越小，则簇内样本相似度越高。

k-means算法的优化目标为：最小化$err$。即：$min_C \sum_{k=1}^K \sum_{X_i \in C_k} ||X_i - u_k||_2^2$

1.2 k-means的优化目标需要考察$D$的所有可能的划分，这是一个NP难的问题。实际上k-means采用贪心策略，通过迭代优化来近似分解。

1. 首先假设一组均值向量。
2. 然后根据假设的均值向量给出了$D$的一个划分。
3. 再根据这个划分来计算真实的均值向量：
   1. 如果真实的均值向量等于假设的均值向量，则说明假设正确。根据假设均值向量给出的$D$的一个划分确实是原问题的解。
   2. 如果真实的均值向量不等于假设的均值向量，则可以将真实的均值向量作为新的假设均值向量，继续迭代求解。

1.3 给定一组假设的均值向量，如何计算出$D$的一个簇划分？

k-means算法的策略是：样本离哪个簇的均值向量最近，则该样本就划归到那个簇。

1.4 k-means算法：

输入：样本集$D=\{X_1,X_2,...,X_N \}$，聚类簇数$K$

输出：簇划分$C=\{C_1,C_2,...,C_K \}$

算法步骤：

1. 从$D$中随机选择$K$个样本作为初始均值向量$\{u_1,u_2,...,u_K \}$
2. 重复迭代直到算法收敛，迭代过程：
   1. 初始化阶段：取$C_k = \varnothing，k=1,2,...,K$
   2. 划分阶段：令$i=1,2,...,N$：
      1. 计算$X_i$的簇标记：$\lambda_{i}=\arg \min _{k}\left\|\overrightarrow{{x}}_{i}-\vec{\mu}_{k}\right\|_{2}, k \in\{1,2, \cdots, K\}$，即：将$X_i$离哪个簇的均值向量最近，则该样本就标记为那个簇
      2. 然后将样本$X_i$划入相应的簇：$C_{\lambda_i}=C_{\lambda_i} \cup {X_i}$
   3. 重计算阶段：计算$\hat{\vec{\mu}}_{k}: \hat{\vec{\mu}}_{k}=\frac{1}{\left|{C}_{k}\right|} \sum_{\vec{x}_{i} \in \mathbb{C}_{k}} \overrightarrow{{x}}_{i}$
   4. 终止条件判断：
      1. 如果对所有的$k \in \{1,2,...,K\}$，都有$\hat{u_k}=u_k$，则算法收敛，终止迭代
      2. 否则重赋值$u_k=\hat{u_k}$

1.5 k-means优点：

1. 计算复杂度低，为$O(NKq)$，其中$q$为迭代次数。通常$K$和$q$要远远小于$N$，此时复杂度相当于$O(N)$
2. 思想简单，容易实现。

1.6 k-means缺点：

1. 需要确定聚类的数量K
2. 分类结构严重依赖于分类中心的初始化。通常进行多次k-means，然后选择最优的那次作为最终聚类结构。
3. 结果不一定是全局最优的，只能保证局部最优。
4. 对噪声敏感。因为簇的中心是取平均，因此聚类簇很远地方的噪音会导致簇的中心点偏移。
5. 无法解决不规则形状的聚类。
6. 无法处理离散特征，如：国籍、性别等。

1.7 k-means性质：

1. k-means实际上假设数据是呈现球形分布，实际任务中很少有这种情况。与之相比，GMM使用更加一般的数据表示，即高斯分布。
2. k-means假设各个簇的先验概率相同，但是各个簇的数据量可能不均匀。
3. k-means使用欧式距离来衡量样本与各个簇的相似度。这种距离实际上假设数据的各个维度对于相似度的作用是相同的。
4. k-means中，各个样本点只属于与其相似度最高的那个簇，这实际上是硬分簇。
5. k-means算法的迭代过程实际上等价于EM算法。

2.k-means++

2.1 k-means++属于k-means的变种，它主要解决k-means严重依赖于分类中心初始化的问题。

2.2 k-means++选择初始均值向量时，尽量安排这些初始均值向量之间的距离尽可能的远。

2.3 k-means++算法：

输入：样本集$D=\{X_1,X_2,...,X_N\}$，聚类簇数$K$

输出：簇划分$C=\{C_1,C_2,...,C_K\}$

算法步骤：

1. 从$D$中随机选择1个样本作为初始均值向量组$\{u_1\}$
2. 迭代，直到初始均值向量组有$K$个向量。假设初始均值向量组为$\{u_1,...,u_m\}$。迭代过程如下：
   1. 对每个样本$X_i$，分别计算其距$u_1,...,u_m$的距离。这些距离的最小值记作$d_i=min_{u_j}||X_i-u_j||$
   2. 对样本$X_i$，其设置为初始均值向量的概率正比于$d_i$。即：离所有的初始均值向量越远，则越可能被选中为下一个初始均值向量。
   3. 以概率分布$P=\{d_1,d_2,...,d_N\}$（未归一化的）随机挑选一个样本作为下一个初始均值向量$u_{m+1}$
3. 一旦挑选出初始均值向量组$\{u_1,...,u_K\}$，剩下的迭代步骤与k-means相同。

3.k-modes

3.1 k-modes属于k-means的变种，它主要解决k-means无法处理离散特征的问题。

3.2 k-modes与k-means有两个不同点（假设所有特征都是离散特征）：

1. 距离函数不同。在k-modes算法中，距离函数为：$distance(X_i,X_j)=\sum_{d=1}^n I(x_{i,d}=x_{j,d})$，其中$I(\cdot)$为示性函数。上式的意义为：样本之间的距离等于他们之间不同属性值的个数。
2. 簇中心的更新规则不同。在k-modes算法中，簇中心每个属性的取值为：簇内该属性出现频率最大的那个值$\hat{\mu}_{k, d}=\arg \max _{v} \sum_{\vec{x}_{i} \in \mathbb{C}_{k}} I\left(x_{i, d}=v\right)$，其中$v$的取值空间为所有样本在第$d$个属性上的取值。

4.k-medoids

4.1 k-medoids属于k-means的变种，它主要解决k-means对噪声敏感的问题。

4.2 k-medoids算法：

输入：样本集$D=\{X_1,X_2,...,X_N\}$，聚类簇数$K$

输出：簇划分$C=\{C_1,C_2,...,C_K\}$

算法步骤：

1. 从$D$中随机选择$K$个样本作为初始均值向量$\{u_1,u_2,...,u_K\}$
2. 重复迭代直到算法收敛，迭代过程：
   1. 初始化阶段：取$C_k=\oslash,k=1,2,...,K$。遍历每个样本$X_i,i=1,2,...,N$，计算它的簇标记：$\lambda_i=arg min_k ||X_i-u_k||_2,k \in \{1,2,...,K\}$。即：将$X_i$离哪个簇的均值向量最近，则该样本就标记为那个簇。然后将样本$X_i$划入相应的簇：$C_{\lambda_i}=C_{\lambda_i} \cup  \{X_i\}$
   2. 重计算阶段：遍历每个簇$C_k,k=1,2,...,K$：
      1. 计算簇新$u_k$距离簇内其他点的距离$d_u^{(k)}=\sum_{X_j^{(k)} \in C_k} ||u_k - X_j^{(k)}||$
      2. 计算簇$C_k$内每个点$X_i^{(k)}$距离簇内其他点的距离$d_i^{(k)}=\sum_{X_j^{(k)}} ||X_i^{(k)} - X_j^{(k)}||$。如果$d_i^{(k)} < d_u^{(k)}$，则重新设置簇中心：$u_k=X_i^{(k)}$，$d_u^{(k)}=d_i^{(k)}$
   3. 终止条件判断：遍历一轮簇$C_1,...,C_K$之后，簇心保持不变

4.3 k-medoids 算法在计算新的簇心时，不再通过簇内样本的均值来实现，而是挑选簇内距离其它所有点都最近的样本来实现。这就减少了孤立噪声带来的影响。

4.4 k-medoids 算法复杂度较高，为$O(N^2)$ 。其中计算代价最高的是计算每个簇内每对样本之间的距离。 通常会在算法开始时计算一次，然后将结果缓存起来，以便后续重复使用。

5.mini-batch k-means

5.1 mini-batch k-means 属于 k-means 的变种，它主要用于减少k-means 的计算时间。

5.2 mini-batch k-means 算法每次训练时随机抽取小批量的数据，然后用这个小批量数据训练。这种做法减少了k-means 的收敛时间，其效果略差于标准算法。

5.3  mini-batch k-means算法：

输入：样本数$D=\{X_1,X_2,...,X_N\}$，聚类簇数$K$

输出：簇划分$C=\{C_1,C_2,...,C_K\}$

算法步骤：

1. 从$D$中随机选择$K$个样本作为初始均值向量$\{u_1,u_2,...,u_K \}$
2. 重复迭代直到算法收敛，迭代过程：
   1. 初始化阶段：取$C_k = \varnothing，k=1,2,...,K$
   2. 划分阶段：随机挑选一个Batch的样本集合$B=X_{b1},...,X_{b_M}$，其中，$M$为批大小
   1. 计算$X_i,i=b_1,...,b_M$的簇标记：$\lambda_{i}=\arg \min _{k}\left\|{x}_{i}-\vec{\mu}_{k}\right\|_{2}, k \in\{1,2, \cdots, K\}$，即：将$X_i$离哪个簇的均值向量最近，则该样本就标记为那个簇
   2. 然后将样本$X_i,i=b_1,...,b_M$划入相应的簇：$C_{\lambda_i}=C_{\lambda_i} \cup {X_i}$
   3. 重计算阶段：计算$\hat{\vec{\mu}}_{k}: \hat{\vec{\mu}}_{k}=\frac{1}{\left|{C}_{k}\right|} \sum_{\vec{x}_{i} \in \mathbb{C}_{k}} \overrightarrow{{x}}_{i}$
   4. 终止条件判断：
      1. 如果对所有的$k \in \{1,2,...,K\}$，都有$\hat{u_k}=u_k$，则算法收敛，终止迭代
      2. 否则重赋值$u_k=\hat{u_k}$