RMQ--ST表

RMQ即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。

ST表既ST算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

以求最小值为例，设dp [ i, j ]表示[ i, i+2^j-1]这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b]区间的最小值时答案就是min(dp[a,k], dp[b-2^k+1,k])，其中 k 是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。

注释: [a, a+(1<<k)-1] ~[b-2^k+1,b-2^k+1+2^k-1 ]  得到b-2^k+1>=a （=>  k<=[ln(b-a+1)/ln(2)] ）（当且取等号时k最大）（k取到最大，能保证覆盖待求最值的区间）

那么如何求出dp[ i ][ j ]呢？

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，dp [i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最小值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

dp [1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最小值，其实就是3这个数，然后F [ 2, 0 ]=2……

同理 dp[1,1] = min(3,2) = 2, dp[1，2]=min(3,2,4,5) = 2，dp [1，3] = min(3,2,4,5,6,8,1,2) = 1

并且我们可以容易的看出dp[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把dp [i，j]平均分成两段（因为dp [ i，j ]一定是偶数个数字）。

从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。dp [i，j]就是这两段各自最小值中的最小值。于是我们得到了状态转移方程dp[i, j]=min（dp[i，j-1],dp[i + 2^(j-1)，j-1]）。

void rmp_st(int n)   //预处理ST表,数组中共n个元素
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dp[i][0]=A[i];
    int m=(int)(log((double)n)/log(2.0)));       //【i，i+2^j-1】2^j<= n（区间长度） j<=log n/ log2;
    //或者上步骤省略直接写成for(j=1;(2<<j)<=n;j++) ……
  for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j)][j-1]);  

    }
}
//预处理得到的dp[i][j]表示 从第i位到第i+2^j-1位当中最小的值  

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？

答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为dp [ i,0 ] 即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为dp [i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为dp [i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是dp [1,0],dp [1,1],dp [1,2],dp [1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素(A[0],A[1],....A[7]）的最值，这里

dp[1,3]=min(min(A[0],A[1],A[2],A[3]),min(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算min(A[0],A[1],A[2],A[3])和min(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

（二）然后是查询。

假如我们需要查询的区间为( i,j )，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)（k取到最大）。

则有：RMQ(A, i, j)=min{ dp [i , k], dp [ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求min (dp [2, 2]，dp [8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = min (dp [2, 2]，dp[5, 2])；