题目和STL实现:DS实验题 融合软泥怪-1

用堆实现优先队列

引言和堆的介绍摘自:Priority Queue(Heaps)--优先队列(堆)

引言:

优先队列是一个至少能够提供插入(Insert)和删除最小(DeleteMin)这两种操作的数据结构。对应于队列的操作,Insert相当于Enqueue,DeleteMin相当于Dequeue。

链表,二叉查找树,都可以提供插入(Insert)和删除最小(DeleteMin)这两种操作,但是为什么不用它们而引入了新的数据结构的。原因在于应用前两者需要较高的时间复杂度。对于链表的实现,插入需要O(1),删除最小需要遍历链表,故需要O(N)。对于二叉查找树,这两种操作都需要O(logN);而且随着不停的DeleteMin的操作,二叉查找树会变得非常不平衡;同时使用二叉查找树有些浪费,因此很多操作根本不需要。

因此这里引入一种新的数据结构,它能够使插入(Insert)和删除最小(DeleteMin)这两种操作的最坏时间复杂度为 O(N) ,而插入的平均时间复杂度为常数时间,即O(1)。同时不需要引入指针。

二叉堆

Heap有两个性质:结构性质(structure property),堆的顺序性(heap order property)。看英文应该比较好理解。

structure property

Heap(堆)是一个除了底层节点外的完全填满的二叉树,底层可以不完全,左到右填充节点。(a heap is a binary tree that completely filled, with the exception of bottom level, which is filled from left to right.)这样的树叫做完全二叉树。

一个高度为h 的完全二叉树应该有以下的性质:

a) 有2h到2h-1个节点

b) 完全二叉树的高度为logN

鉴于完全二叉树是一个很整齐的结构,因此可以不用指针而只用数组来表示一颗完全二叉树。 对于处于位置i 的元素,

a)他的左子节点在2i,右子节点在(2i+1)

b) 它的父节点在【i/2】(向下取整)

下图显示了完全二叉树与数组的对应关系:

实现

有了上面的基础之后,其实建堆和维护堆并不是一件难事,这里大概描述下我的思路。

1.我们使用数组模拟堆,i是当前节点,i/2是它的父亲节点,i2和i2+1或者i*2-1(如果存在的话)是它的左右儿子。

2.刚刚开始建堆的时候,从size到1遍历一遍,每一个节点向上进行维护,进行初始化。

3.维护的方法:比较当前节点和父亲节点 => 如果父亲节点的值大于当前节点的值,则进行交换,同时当前节点来到此时的父亲节点处,父亲节点找它的父亲节点 || 如果父亲节点的值小于当前节点的值,结束。

4.加入一个元素的方法:在堆尾,也就是Heap[size+1],插入新的节点 => size++ => 步骤3。

5.删除最小节点的方法:将最后一个节点和最小的节点交换 => 删除最后一个节点 => 执行步骤2。

代码

//
// main.cpp
// Heap
//
// Created by wasdns on 16/12/25.
// Copyright © 2016年 wasdns. All rights reserved.
// #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; int size = 0; int Heap[100005]; /*
维护函数keep
*/
void keep(int son)
{
int fa = son/2; while (fa >= 1 && Heap[fa] > Heap[son])
{
int t = Heap[fa];
Heap[fa] = Heap[son];
Heap[son] = t; son = fa;
fa = fa/2;
}
} /*
初始化函数IniHeap
*/
void IniHeap()
{
int i; for (i = size; i >= 1; i--)
{
keep(i);
}
} /*
InsProtect函数:插入新节点并维护
*/
void InsProtect(int a)
{
Heap[++size] = a; keep(size);
} /*
DelMin函数:删除最小元并维护
*/
int DelMin()
{
int minum = Heap[1]; int t = Heap[size]; Heap[1] = t; size--; IniHeap(); return minum;
} int main()
{
cin >> size; for (int i = 1; i <= size; i++)
{
cin >> Heap[i];
} IniHeap(); int cnt = 0; while (size != 1)
{
int a = DelMin();
int b = DelMin(); cnt += a+b; InsProtect(a+b);
} cout << cnt << endl; return 0;
} /*
14
4 3 2 6 7 1 3 5 4 3 8 2 1 7
*/

2016/12/25

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