LOJ2267 SDOI2017 龙与地下城 FFT、概率密度函数、Simpson

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概率论神仙题……

首先一个暴力做法是设\(f_{i,j}\)表示前\(i\)个骰子摇出点数和为\(j\)的概率，不难发现DP的过程是一个多项式快速幂，FFT优化可以做到\(O(XYlog(XY))\)

但是能够跑过\(4 \times 10^6\)的FFT应该很少见，所以我们对于\(Y\)比较大的部分需要另外考虑做法。

首先一个前置是概率密度函数：对于一个连续型随机变量\(p\)，\(f(x)\)是\(p\)的概率密度函数当且仅当对于\(\forall l<r\)，\(\int_l^r f(x)\)等于\(p\)随机到区间\([l,r]\)内的概率

还有一个前置是正态分布：对于一个连续型随机变量\(p\)，如果它服从正态分布，且已知\(p\)的期望为\(\mu\)，方差为\(\sigma^2\)，那么\(p\)的概率密度函数为\(\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^\frac{-(x - \mu)^2}{2}\)。下文中我们称变量\(p\)服从期望为\(\mu\)、方差为\(\sigma^2\)的正态分布为变量\(p\)服从\(N[\mu , \sigma^2]\)。

那么如果我们知道某一个变量服从正态分布，就可以直接得知它的概率密度函数，然后需要求落在一段区间内的概率就只需要Simpson积分一下就可以了。

但是似乎我们没法判断一个变量是否服从正态分布，所以还有一个最重要的定理：中心极限定理。定理本身比较复杂，我们只需要用到这个定理的一个小的推论，如下：

对于同分布、值独立的若干个变量\(x_1,x_2,...,x_n\)，设其中任一变量取到的值的期望为\(\mu\)，方差为\(\sigma^2\)，那么当\(n\)足够大时，设\(P = \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\)，那么变量\(P\)服从\(N[0,1]\)。

也就是说当题目给出的\(Y\)足够大的时候，我们可以直接套用中心极限定理。当\(\sum\limits_{i=1}^n x_i \in [A,B]\)，\(P \in [\frac{A - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} , \frac{B - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}]\)，而一个随机变量的期望和方差已经在题目中给出了，我们可以直接把变量取值范围求出来然后对着概率密度函数Simpson积分就可以了。

所以我才不会说我写这道题纯属为了练Simpson积分

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