[PKUSC2018]最大前缀和

[PKUSC2018]最大前缀和

题目大意：

有\(n(n\le20)\)个数\(A_i(|A_i|\le10^9)\)。求这\(n\)个数在随机打乱后最大前缀和的期望值与\(n!\)的积在模\(998244353\)意义下的值。其中最大前缀和的定义为\(\forall i\in[1,n]\sum_{j=1}^iA_j\)的最大值。

思路：

考虑一个分界点\(p\)，使得\(\sum A_{1\sim p}\)为最大前缀和，那么显然\(p\)之后的所有前缀和均\(<0\)，否则就存在可以替换\(p\)的方案使得前缀和更大。

用\(sum[i]\)表示子集\(i\)的数值和，\(f[i]\)表示最大前缀和为\(sum[i]\)的方案数，\(g[i]\)表示任意前缀和均为负的方案数。\(f[i]\)和\(g[i]\)均可以通过动态规划求得。最后答案即为\(\sum sum[S]\times f[S]\times g[\overline S]\)。时间复杂度\(\mathcal O(2^nn)\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
typedef long long int64;
inline int getint() {
	register char ch;
	register bool neg=false;
	while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-';
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return neg?-x:x;
}
const int N=20,mod=998244353;
int a[N],f[1<<N],g[1<<N];
int64 sum[1<<N];
int main() {
	const int n=getint(),u=(1<<n)-1;
	g[0]=1;
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		f[1<<i]=1;
		a[i]=getint();
		for(register int s=0;s<1<<n;s++) {
			if(s&(1<<i)) sum[s]+=a[i];
		}
	}
	for(register int s=1;s<1<<n;s++) {
		if(sum[s]>0) {
			for(register int i=0;i<n;i++) {
				if(!(s&(1<<i))) {
					(f[s|(1<<i)]+=f[s])%=mod;
				}
			}
		} else {
			for(register int i=0;i<n;i++) {
				if(s&(1<<i)) {
					(g[s]+=g[s^(1<<i)])%=mod;
				}
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(register int i=1;i<1<<n;i++) {
		(ans+=(int64)sum[i]*f[i]%mod*g[u^i]%mod)%=mod;
	}
	printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
	return 0;
}