【LOJ3156】「NOI2019」回家路线

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【题目概括】

现在有\(n\)个站点，\(m\)条火车路线，每一条货车路线都有一个起点站点、终点站点、开始时间和到站时间。

对于一直在起点\(1\)的人，终点是\(n\)号点。

如果这个人在站点等待了\(T\)时间，那么他的烦躁值会增加\(A^2\times T+B\times T+C\)。

如果他在\(z\)时刻到达了终点，那么还会增加\(z\)的烦躁值。

请你计算出最小化的烦躁值。

【思路要点】

• 定义状态\(f[i]\)表示乘坐了第\(i\)条火车路线后会有的最小烦躁值。
• 那么状态转移方程为
• \(f[i]=Min(f[j]+A\times(p[i]-q[j])^2+B\times(p[i]-q[j])+C) \ (x[i]=y[j],q[j]\leq p[i])\)
• 转化成斜率式后得到下式，满足决策单调性，用斜率优化就可以解决了。
• \((f[j]+A\times q[j]^2-B\times q[j])_y=(2\times A\times p[i])_k\times (q[j])_x+(f[i]-A\times p[i]^2-B\times p[i])_b\)
• 考虑实现这个\(DP\)。
• 我们考虑按照时间\(DP\)。
• 将一个火车路线拆分成两个事件：火车在\(p_i\)时刻出站和火车在\(q_i\)进站。
• 每一次转移我们将\(DP\)值插入到当前的站点，每一次取斜率最优的。
• 时间复杂度 \(O(MlogM)\)

【代码】

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f

typedef long long ll;

template <typename T> void chkmin(T& x, T y) {
  x = std::min(x, y);
}

const int N = 1e5 + 5;
const int M = 2e5 + 5;
const int NT = 1e3 + 5;

int n, m, A, B, C;
int x[M], y[M], p[M], q[M];
ll dp[M];
std::vector<int> S[NT];
int head[N];
ll ans;

ll Y(int i) {
  return dp[i] + A * q[i] * q[i] - B * q[i];
}

ll X(int i) {
  return q[i];
}

struct Node {
  ll x, y;
  int id;
  Node(int Id = 0) {
    x = X(Id), y = Y(Id);
    id = Id;
  }
};
std::vector<Node> que[N];
std::vector<int> fin[NT];

bool cmp1(Node a, Node b, ll k) {
  return (b.y - a.y) > k * (b.x - a.x);
}

bool cmp2(Node a, Node b, Node c, Node d) {
  return ((b.y - a.y) * (d.x - c.x)) > ((d.y - c.y) * (b.x - a.x));
}

ll F(ll x) {
  return A * x * x + B * x + C;
}

void add(int id) {
  Node now = Node(id);
  int pos = y[id];
  while ((int) que[pos].size() - head[pos] >= 2) {
    if (cmp2(que[pos][que[pos].size() - 2], now, que[pos][que[pos].size() - 2], que[pos][que[pos].size() - 1])) break;
    que[pos].pop_back();
  }
  que[pos].push_back(now);
}

void del(int id, ll k) {
  while ((int) que[id].size() - head[id] >= 2) {
    if (cmp1(que[id][head[id]], que[id][head[id] + 1], k)) break;
    head[id]++;
  }
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("route.in", "r", stdin);
  freopen("route.out", "w", stdout);
#endif 

  scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &A, &B, &C);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    scanf("%d %d %d %d", &x[i], &y[i], &p[i], &q[i]);
    S[p[i]].push_back(i);
  }
  que[1].push_back(Node(0));
  ans = INF;
  for (int T = 0; T <= 1000; T++) {
    for (int i = 0; i < (int) fin[T].size(); i++) {
      add(fin[T][i]);
    }
    fin[T].clear();
    for (int i = 0; i < (int) S[T].size(); i++) {
      int routeId = S[T][i], st = x[routeId];
      if ((int) que[st].size() <= head[st]) continue;
      del(st, 2 * A * p[routeId]);
      int j = que[st][head[st]].id;
      dp[routeId] = dp[j] + F(p[routeId] - q[j]);
      if (y[routeId] == n) chkmin(ans, dp[routeId] + q[routeId]);
      fin[q[routeId]].push_back(routeId);
    }
  }
  printf("%lld\n", ans);
  return 0;
}