洛谷P3205 [HNOI2011]合唱队 DP

原题链接点这里

今天在课上听到了这个题，听完后觉得对于一道\(DP\)题目来说，好的状态定义就意味着一切啊！

来看题:

题目描述
为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人，第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排，为了简化问题，小A想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

-第一个人直接插入空的当前队形中。

-对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高(H较大)，那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小)，那么将他插入当前队形的最左边。

当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有6个人站成一个初始队形，身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,

那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形：

1850
1850 , 1900 因为 1900 > 1850
1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
1750， 1650, 1700，1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800

因此，最终排出的队形是 1750，1650，1700，1850, 1900，1800

小A心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形

输出格式：
注意要mod19650827

说明
30%的数据：n<=100
100%的数据：n<=1000

首先，不难发现这样的队列一定有一个性质，对于每次完成加人操作后的队列，它一定是最终队列的一个子区间。于是我们就可以用区间DP来搞这道题了。

下面的这个状态定义，非常的巧妙（不可能的，我这一辈子都是不可能想出来的）:

令\(h[i]\)为最终队列第i个人的身高，\(f[l][r][0], f[l][r][1]\)分别为对于区间\([l,r]\)最后一次加人是在左边，和在右边的方案数，不难yy出转移方程如下:

\(f[l][r][0] = f[l+1][r][0]*(h[l+1]>h[l])+f[l+1][r][1]*(h[r]>h[l])\)

\(f[l][r][1] = f[l][r-1][0]*(h[l]<h[r])+f[l][r-1][1]*(h[r-1]<h[r])\)

然后我们就可以按照先枚举长度，再枚举起点的区间\(DP\)的套路来转移了(^▽)

上代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1005, mod = 19650827;

int n, h[N], f[N][N][2]; //0代表左边 1代表右边 

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); //读入优化
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i], f[i][i][0] = 1; //初始化
	for(int k = 2; k <= n; k++) //枚举长度
		for(int i = 1; i+k-1 <= n; i++) { //枚举起点
			int l = i, r = i+k-1;
			f[l][r][0] = (f[l+1][r][0]*(h[l+1]>h[l])+f[l+1][r][1]*(h[r]>h[l]))%mod; //状态转移
			f[l][r][1] = (f[l][r-1][0]*(h[l]<h[r])+f[l][r-1][1]*(h[r-1]<h[r]))%mod;
		}
	cout << (f[1][n][0]+f[1][n][1])%mod; //最终答案为最后一次加人在左边和在右边的和
	return 0;
}