洛谷P3205 [HNOI2011]合唱队 DP
原题链接点这里
今天在课上听到了这个题,听完后觉得对于一道\(DP\)题目来说,好的状态定义就意味着一切啊!
来看题:
题目描述
为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果,作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人,第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排,为了简化问题,小A想出了如下排队的方式:他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形,然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中:
-第一个人直接插入空的当前队形中。
-对从第二个人开始的每个人,如果他比前面那个人高(H较大),那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小),那么将他插入当前队形的最左边。
当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。
例如,有6个人站成一个初始队形,身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,
那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形:
1850
1850 , 1900 因为 1900 > 1850
1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
1750, 1650, 1700,1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800
因此,最终排出的队形是 1750,1650,1700,1850, 1900,1800
小A心中有一个理想队形,他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形
输出格式:
注意要mod19650827
说明
30%的数据:n<=100
100%的数据:n<=1000
首先,不难发现这样的队列一定有一个性质,对于每次完成加人操作后的队列,它一定是最终队列的一个子区间。于是我们就可以用区间DP来搞这道题了。
下面的这个状态定义,非常的巧妙(不可能的,我这一辈子都是不可能想出来的):
令\(h[i]\)为最终队列第i个人的身高,\(f[l][r][0], f[l][r][1]\)分别为对于区间\([l,r]\)最后一次加人是在左边,和在右边的方案数,不难yy出转移方程如下:
\(f[l][r][0] = f[l+1][r][0]*(h[l+1]>h[l])+f[l+1][r][1]*(h[r]>h[l])\)
\(f[l][r][1] = f[l][r-1][0]*(h[l]<h[r])+f[l][r-1][1]*(h[r-1]<h[r])\)
然后我们就可以按照先枚举长度,再枚举起点的区间\(DP\)的套路来转移了(▽)
上代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1005, mod = 19650827;
int n, h[N], f[N][N][2]; //0代表左边 1代表右边
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); //读入优化
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i], f[i][i][0] = 1; //初始化
for(int k = 2; k <= n; k++) //枚举长度
for(int i = 1; i+k-1 <= n; i++) { //枚举起点
int l = i, r = i+k-1;
f[l][r][0] = (f[l+1][r][0]*(h[l+1]>h[l])+f[l+1][r][1]*(h[r]>h[l]))%mod; //状态转移
f[l][r][1] = (f[l][r-1][0]*(h[l]<h[r])+f[l][r-1][1]*(h[r-1]<h[r]))%mod;
}
cout << (f[1][n][0]+f[1][n][1])%mod; //最终答案为最后一次加人在左边和在右边的和
return 0;
}
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