UESTC 1330 柱爷与远古法阵【高斯消元】
题目链接【http://acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/1330】
题意:有一个长度为L(L <= 300)的长廊,有一人站在最左边,他要到最右边去,他每次可以走1 ~ 6 步,每一次走的步数是随机发生的。并且某些位置有传送门(a,b)表示a位置有个传送门,可以直接到达b,然后求出到达最右边的期望是多少?
题解:首先,我们先列出公式,设dp[i]表示从 i 点到达最右边的期望,则1、dp[L] =0 。2、如果a有传送门b那么dp[a] = dp[b] 。否则 dp[x] = (dp[x+1]+dp[x+2] + dp[x+y])/6+1;( x + y <= L && y <= 6)。化简后就得到,6 * dp[x] - dp[x+1] - dp[x+2] - ... - dp[x+y] == 6。那么我们一共可以列出L个方程,一共有L个未知量,只要用高斯消元解出来就可以了。
注意:1、每个点最多只有一个传送门,2、这道题存在无解的情况,3、这道题精度卡的很高。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double LB;
const LB eps = 1e-14;
const int maxn = 350 + 15;
LB a[maxn][maxn], x[maxn];
int Guess(int equ, int var)
{
int i, j, k, col, max_r;
for(k = 1, col = 1; k <= equ && col <= var; k++, col++)
{
max_r = k;
for(i = k + 1; i <= equ; i++)
if(fabs(a[i][col] ) > fabs(a[max_r][col])) max_r = i;
if(fabs(a[max_r][col]) < eps ) return 0;//无解
if(k != max_r)
{
for(j = col; j <= var; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
swap(x[k], x[max_r]);
}
x[k] /= a[k][col];
for(j = col + 1; j <= var; j++) a[k][j] /= a[k][col];
a[k][col] = 1;
for(i = 1; i <= equ; i++)
if(i != k)
{
x[i] -= x[k] * a[i][col];
for(j = col + 1; j <= var; j++) a[i][j] -= a[k][j] * a[i][col];
a[i][col] = 0;
}
}
return 1;
}
int N, M;
int f[maxn];//表示某点有没有传送门
int main ()
{
scanf("%d %d", &N, &M);
memset(a, 0, sizeof(a));
for(int i = 1; i <= N; i++) f[i] = 0;
for(int i = 1; i <= M; i++)
{
int u, v;
scanf("%d %d", &u, &v);
f[u] = v;
}
for(int i = 1; i < N; i++)
{
a[i][i] = 6.0;
if(f[i])
{
a[i][f[i]] = -6.0;
continue;
}
x[i] = 6.0;
for(int j = 1; j <= 6; j++)
{
if(i + j <= N) a[i][i + j] -= 1.0;
else a[i][i] -= 1.0;
}
}
a[N][N] = 1.0, x[N] = 0;
if(!Guess(N, N)) printf("-1\n");
else printf("%.12Lf\n", x[1]);
return 0;
}
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