【APIO2019】路灯（ODT & (树套树 | CDQ分治)）

Description

一条 \(n\) 条边，\(n+1\) 个点的链，边有黑有白。若结点 \(a\) 可以到达 \(b\)，需要满足 \(a\to b\) 的路径上的边不能有黑的。现给出 \(0\) 时刻边的初始状态，然后随后 \(1\sim q\) 时刻每时刻有一个事件或查询：

• \(\texttt{toggle} \ i\)：翻转第 \(i\) 条边的颜色（黑 \(\Leftrightarrow\) 白）
• \(\texttt{query}\ a\ b\)：查询从 \(0\) 开始到当前时刻，有多少时刻满足 \(a\) 可以到达 \(b\)。

对于每一个 \(\texttt{query}\)，输出答案。

Hint

\(1\le n, q\le 3\times 10^5\)

Solution

设一个位置 \(x\) 可以到达的最左侧位置为 \(L(x)\)，右侧为 \(R(x)\)。

这里有一个 用 set 维护连续段 的技巧——对于边状态 \(\texttt{0100011}\)，可以分段存为：\([1, 1], [2, 2], [3,5], [6, 7]\) 四段。对于一个位置 \(x\)，所属段为 \([l, r]\)，那么有 \(L(x)=l, R(x)= r\)。（好像可以直接线段树）

当修改时，若将边 \(x\to x+1\) 变为白色，那么段 \([L(x), x],[x+1, R(x+1)]\) 间变为连通，可以将这两段删去，用 \([L(x), R(x+1)]\) 取而代之。对答案的影响？显然所有满足 \(a\in [L(x), x],b\in[x+1, R(x+1)]\) 的点对 \((a, b)\) 的答案都需要更改。

设当前时间为 \(t\)，总时间为 \(T\)。

考虑如何将一个点对转化成一个二维点，而这又是本题的关键。这样一来，上面的修改变成了 **矩形加 ** 操作——左下点为 \((L(x), x+1)\)，右上为 \((x, R(x))\) 的矩形区域的每个位置加上 \(T-t\)，表明 暂定后面时刻都是连通的。

同理，若是白变黑，那么就是矩形减 \(T-t\)。表明目前看来，后面都不连通。

那么对于查询，只要获取位置 \((a, b)\) 的值即可。若当前两点是联通的，由于上文是暂定，于是还要把后面减掉，答案 \(-(T-t)\)。

如何高效执行上述两个操作？显然可以 CDQ 但我老写炸。不如树套树吧。把矩形修改差分成四个，单点询问转化成区域查询即可。

时空复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

Code

/*
 * Author : _Wallace_
 * Source : https://www.cnblogs.com/-Wallace-/
 * Problem :  APIO2019 路灯
 */
#include <cstdio>
#include <set>

using namespace std;
const int MaxN = 3e5 + 5;

int n, N, T;
bool dat[MaxN];
char str[MaxN];

namespace bit_seg {
    const int S = MaxN << 9;
    int lc[S], rc[S], total = 0, sum[S];
    #define mid ((l + r) >> 1)

    int root[MaxN];
    #define lbt(x) (x & (-x))

    void ins(int& x, int p, int v, int l, int r) {
        if (!x) x = ++total;
        sum[x] += v;
        if (l == r) return;
        if (p <= mid) ins(lc[x], p, v, l, mid);
        else ins(rc[x], p, v, mid + 1, r);
    }
    void upd(int r, int c, int val) {
        for (; r <= n; r += lbt(r)) ins(root[r], c, val, 1, n + 1);
    }
    void rectAdd(int xl, int yl, int xr, int yr, int val) {
        upd(xl, yl, val);
        upd(xr + 1, yr + 1, val);
        upd(xl, yr + 1, -val);
        upd(xr + 1, yl, -val);
    }

    int get(int x, int ql, int qr, int l, int r) {
        if (!x) return 0;
        if (ql <= l && r <= qr) return sum[x];
        int ret = 0;
        if (l <= mid) ret += get(lc[x], ql, qr, l, mid);
        if (r > mid) ret += get(rc[x], ql, qr, mid + 1, r);
        return ret;
    }
    int Query(int r, int c) {
        int ret = 0;
        for (; r; r -= lbt(r)) ret += get(root[r], 1, c, 1, n + 1);
        return ret;
    }
};

struct interval {
    int l, r;
    inline interval(int L, int R) : l(L), r(R) { }
    inline bool operator < (const interval& x) const { return r < x.r; }
};
set<interval> itv;
typedef set<interval>::iterator Iter;

#include <algorithm>
signed main() {
    scanf("%d%d", &n, &T), N = n++;
    scanf("%s", str + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        itv.insert(interval(i, i));

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        dat[i] = (str[i] == '1');
        if (dat[i]) {
            Iter it = --itv.lower_bound(interval(0, i + 1));
            int L = it->l;
            itv.erase(it), itv.erase(interval(i + 1, i + 1));
            itv.insert(interval(L, i + 1));
        }
    }

    for (Iter it = itv.begin(); it != itv.end(); it++)
        bit_seg::rectAdd(it->l, it->l, it->r, it->r, T);

    for (int t = 1; t <= T; t++) {
        char opt[10];
        int i, a, b;
        scanf("%s", opt);
        if (opt[0] == 't') {
            scanf("%d", &i);
            if (dat[i]) {
                Iter it = itv.lower_bound(interval(0, i));
                int l1 = it->l, r1 = i, l2 = i + 1, r2 = it->r;
                bit_seg::rectAdd(l1, l2, r1, r2, -(T - t));
                itv.erase(interval(l1, r2));
                itv.insert(interval(l1, r1));
                itv.insert(interval(l2, r2));
            } else {
                Iter it = itv.lower_bound(interval(0, i));
                int l1 = it->l, r1 = i, l2 = i + 1, r2 = (++it)->r;
                bit_seg::rectAdd(l1, l2, r1, r2, T - t);
                itv.erase(interval(l1, r1));
                itv.erase(interval(l2, r2));
                itv.insert(interval(l1, r2));
            }
            dat[i] ^= 1;
        } else {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            int ans = bit_seg::Query(a, b);
            if (itv.lower_bound(interval(0, a)) == itv.lower_bound(interval(0, b)))
                printf("%d\n", ans - (T - t));
            else printf("%d\n", ans);
        }
    }
}