BZOJ1855 股票交易 单调队列优化 DP

描述

　　某位蒟佬要买股票， 他神奇地能够预测接下来 T 天的 每天的股票购买价格 ap, 股票出售价格 bp, 以及某日购买股票的上限 as,  某日出售股票上限 bs， 并且每次股票交 ♂ 易 ( 购买与出售都属于交易 )都需要间隔 W 天，手头股票总数不能超过 maxp 个. 请你想办法赚到最多的钱.

　　T , maxp <= 2000

题解

　　定义 F[ i ][ j ] 为到第 i 天， 剩余 j 张股票 ， 能够赚到最多的钱。

　　分如下几种情况：

1. 　　股票仅从当天买： F[ i ][ j ] = - j * ap[ i ]
2. 当天不买， 股票是之前买的 : F[ i ][ j ] = F[ i - 1][ j ]
3. 在 w + 1 天之前的股票的基础上 购买若干股票得到: F[ i ][ j ] = F[ i - w - 1][ k ] - ( j - k ) * ap[ i ]    并且满足 j > k >= j - as
4. 在 w + 1 天之前的股票的基础上 出售若干股票得到: F[ i ][ j ] = F[ i - w - 1][ k] + ( k - j ) * bp[ i ]    并且满足 j < k <= j + bs

　　就可以写出一个 O(T * maxp * maxp) 的dp， 当然是 O （不能过）

　　将 3 式子中的  F[ i - w - 1][ k ] + k * ap[i] 提取出来, 因为要满足最优解， 显然这个式子是越大越好， 又要满足 k >= j - as, 肯定是k 越大越好， 那么就可以用单调队列来进行优化

　　4 式子也同理可得， 不过3， 4 需要分开处理

代码

 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rd read()
 #define rep(i,a,b) for( int i = (a); i <= (b); ++i )
 #define per(i,a,b) for( int i = (a); i >= (b); --i )
 using namespace std;

 const int N = 3e3;

 int t, ap[N], bp[N], as[N], bs[N], maxp, w, f[N][N], q[N];

 int read() {
     int X = , p = ; char c = getchar();
     for(; c > '' || c < ''; c = getchar() ) if( c == '-' ) p = -;
     for(; c >= '' && c <= ''; c = getchar()) X = X *  + c - '';
     return X * p;
 }

 int cal1( int x ,int y ) {
     return f[x - w - ][y] + ap[x] * y;
 }

 int cal2( int x, int y ) {
     return f[x - w - ][y] + bp[x] * y;
 }

 int main()
 {
     t = rd, maxp = rd, w = rd;
     rep( i, , t ) ap[i] = rd, bp[i] = rd, as[i] =rd, bs[i] =rd;
     memset(f, , sizeof(f));
     f[][] = ;
     rep( i, , t ) {
         rep( j, , as[i] ) f[i][j] = -ap[i] * j;
         rep( j, , maxp )f[i][j] = max( f[i][j], f[i - ][j] );
         if( i <= w) continue;
         int l = , r = ;
         rep( j, , maxp ) {
             while( l <= r && q[l] < j - as[i] ) l++;
             if( l <= r ) f[i][j] = max( f[i][j], f[i - w - ][ q[l] ] - ap[i] * ( j - q[l] ) );
             while( l <= r && cal1( i, q[r] ) <= cal1( i, j ) ) r--;
             q[++r] = j;
         }
         l = , r = ;
         per( j, maxp,  ) {
             while( l <= r && q[l] > j + bs[i] ) l++;
             if( l <= r ) f[i][j] = max( f[i][j], f[i - w - ][q[l]] + bp[i] * ( q[l] - j ) );
             while( l <= r && cal2( i, q[r] ) <= cal2( i, j ) ) r--;
             q[++r] = j;
         }
     }
     int ans = ;
     rep( i, , t ) ans = max( ans, f[i][]);
     printf("%d\n",ans);
 }