LOJ#2540 随机算法

题意：给定图，随机一个排列，依次加点，如果加点之后不是独立集就不加。求最后得到一个最大独立集的概率。

解：就是求有多少个排列可以加出最大独立集。

显然有一个3ⁿ的状压DP，0表示没加，1表示没加上，2表示加上了。

转移的时候枚举下一个加哪个点即可。这样有30分。

然后还是过不了的。考虑怎么压成二进制。我们可以用1表示这个点不能加(与某个加入的点相邻或者已经加入)，0表示这个点可以加。

这样会损失一个信息，你就不知道当前独立集多大。所以再开一维表示独立集大小。

每次转移的时候考虑加哪一个点。顺便把它相邻的点也加上。注意它相邻的点加入的时候有顺序。具体来说，我们之前的状态中如果有x个点，那么就还有n - x个空位。而其中最前面的一个空位肯定是你主动加进去的点。所以现在要在n - x - 1个空位中放进被动加进去的点。这就是一个排列数。

然后就有了一个n2ⁿ的DP了。注意预处理出与一个点相邻的点和一个状态中点的个数。

 #include <cstdio>

 typedef long long LL;
 const int N = ;
 const LL MO = ;

 struct Edge {
     int nex, v;
 }edge[N * N * ]; int top;

 int n, e[N], cnt[ << ], nb[N];
 LL f[N][ << ], nn[N], inv[N], invn[N];
 bool vis[N];

 inline void add(int x, int y) {
     top++;
     edge[top].v = y;
     edge[top].nex = e[x];
     e[x] = top;
     return;
 }

 inline void out(int x) {
     for(int i = ; i < n; i++) {
         printf("%d", (x >> i) & );
     }
     return;
 }

 inline LL C(int n, int m) {
     return nn[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
 }
 inline LL P(int n, int m) {
     if(m > n) {
         return ;
     }
     return nn[n] * invn[n - m] % MO;
 }

 int main() {
     int m;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i = , x, y; i <= m; i++) {
         scanf("%d%d", &x, &y);
         add(x, y);
         add(y, x);
     }
     int lm = ( << n);
     for(int s = ; s < lm; s++) {
         cnt[s] =  + cnt[(s - (s & (-s))) >> ];
     }
     for(int x = ; x < n; x++) {
         nb[x] =  << x;
         for(int i = e[x + ]; i; i = edge[i].nex) {
             int y = edge[i].v - ;
             nb[x] |= ( << y);
         }
     }
     nn[] = inv[] = invn[] = ;
     nn[] = inv[] = invn[] = ;
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         nn[i] = nn[i - ] * i % MO;
         inv[i] = inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
         invn[i] = invn[i - ] * inv[i] % MO;
     }

     int ans = ;
     LL sum = ;
     f[][] = vis[] = ;
     for(int i = ; i <= n && vis[i]; i++) {
         for(int s = ; s < lm; s++) {
             // f[i][s]
             if(!f[i][s]) {
                 continue;
             }
             //printf("f %d ", i); out(s); printf(" = %lld \n", f[i][s]);
             if(i > ans) {
                 ans = i;
                 sum = f[i][s];
             }
             else if(i == ans) {
                 sum = (sum + f[i][s]) % MO;
             }
             for(int j = ; j < n; j++) {
                 if((s >> j) & ) {
                     continue;
                 }
                 int t = s | nb[j];
                 // f[i + 1][t]
                 (f[i + ][t] += f[i][s] * P(n - cnt[s] - , cnt[t] - cnt[s] - ) % MO) %= MO;
                 vis[i + ] = ;
                 //printf("f %d ", i + 1); out(t); printf(" += f %d ", i); out(s); printf(" * %lld \n", P(n - cnt[s] - 1, cnt[t] - cnt[s] - 1));
             }
         }
     }

     printf("%lld\n", sum * invn[n] % MO);
     //printf("%d %lld \n", ans, sum);
     return ;
 }

AC代码