[问题2014S10]  设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵, 证明: \(AB\) 与 \(BA\) 相似的充分必要条件是 \[\mathrm{rank}\big((AB)^i\big)=\mathrm{rank}\big((BA)^i\big),\, i=1,2,\cdots,n-1.\]

注  (1) 本题是复旦高代教材 P172 习题 6 的推广, 即若 \(A,B\) 中有一个是非异阵, 则 \(AB\) 与 \(BA\) 相似.

(2) 设 \[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\, B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\] 则 \(AB=B\) 不相似于 \(BA=0\), 这是因为 \(\mathrm{rank}(AB)=1\neq 0=\mathrm{rank}(BA)\).

[问题2014S10] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十教学周）的更多相关文章

  1. [问题2014S01] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第一教学周）

    问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ...

  2. [问题2014S09] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第九教学周）

    [问题2014S09]  证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{d ...

  3. [问题2014S02] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第二教学周）

    问题2014S02  设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \\ g(x) ...

  4. [问题2015S01] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第二教学周）

    [问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, ...

  5. [问题2015S08] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第九教学周）

    [问题2015S08]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\overline{A}\) 与 \(\overline{A}A\) 相似, 其中 \(\overline{A}\) ...

  6. [问题2014A07] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第九教学周）

    [问题2014A07]  设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mat ...

  7. [问题2014S12] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十二教学周）

    [问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB ...

  8. [问题2014S06] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第六教学周）

    [问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题: 设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线 ...

  9. [问题2014S03] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第三教学周）

    [问题2014S03]  设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且 \(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数. 若 \(A\) 的所有 \(n-1\) 阶主子式之和等于零, ...

随机推荐

  1. 20145334实验三《敏捷开发与XP实践》

    实验内容 初步掌握单元测试和TDD 理解并掌握面向对象三要素:封装.继承.多态 初步掌握UML建模 熟悉S.O.L.I.D原则 了解设计模式 实验步骤 1.敏捷开发与XP 敏捷开发(Agile Dev ...

  2. 手动给控制器添加xib

    UIViewController绑定xib界面可视化,有两种方式: 1.第一种(自动化),在创建控制器时,勾选xib选项. 2.第二种手动创建一个Xib,然后再手动绑定到对应的控制器上

  3. what's the difference between dim as and dim as new?

    what's the difference between dim as and dim as new? There is no difference with value types (Intege ...

  4. springmvc Failed to load resource: the server responded with a status of 404 (Not Found)

    jsp页面导入css.js提示上述问题. Spring对静态资源的请求做专门处理 <!-- 对静态资源的请求 --><mvc:resources location="/js ...

  5. rsync组合inotify-tools完成实时同步[转]

    一. 什么是inotify inotify是一种强大的.细粒度的.异步的文件系统事件监控机制,Linux内核从2.6.13开始引入,允许监控程序打开一个独立文件描述符,并针对事件集监控一个或者多个文件 ...

  6. Thinking in Java——笔记(1)

    Introduction To Obejct The progress of abstraction But their primary abstraction still requires you ...

  7. IHttpModule

    随便写一个类继承IHttpModule 实现IHttpModule中的两个方法 Init() Dispose() public void Init(HttpApplication context) { ...

  8. java中遍历集合的三种方式

    第一种遍历集合的方式:将集合变为数组 package com.lw.List; import java.util.ArrayList; import java.util.List; import ja ...

  9. nodejs 初入

    nodejs 模块路径 1.内置模块 如果传递给require函数的是NodeJS内置模块名称,不做路径解析,直接返回内部模块的导出对象,例:require('http'). 2. nodejs  支 ...

  10. ERROR 2006 (HY000) at line xx: MySQL server has gone away 解决方法