【SDOI2015】序列统计解题报告

2119: 【BZOJ3992】【SDOI2015】序列统计

Description

小$C$有一个集合$S$，里面的元素都是小于$M$的非负整数。

他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为$N$的数列，数列中的每个数都属于集合$S$。

小$C$用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小$C$有一个问题需要你的帮助：给定整数$x$，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积$\bmod M$的值等于$x$的不同的数列的有多少个。

小$C$认为，两个数列$\{A_i\}$和$\{B_i\}$不同，当且仅当至少存在一个整数$i$，满足$A_i≠B_i$。另外，小$C$认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案$\bmod 1004535809$的值就可以了。

Input

一行，四个整数，$N$、$M$、$x$、$|S|$，其中$|S|$为集合$S$中元素个数。

第二行，$|S|$个整数，表示集合$S$中的所有元素。

Output

一行，一个整数，表示你求出的种类数$\bmod 1004535809$的值。

HINT

对于$10\%$的数据，$1≤N≤1000$；

对于$30\%$的数据，$3≤M≤100$；

对于$60\%$的数据，$3≤M≤800$；

对于全部的数据，$1≤N≤10^9$，$3≤M≤8000$，$M$为质数，$1≤x≤M−1$，输入数据保证集合$S$中元素不重复

先吐槽一波部分分吧...

明显有一个矩阵快速幂的做法，然后通过不了60pts，请问这个点的分怎么拿呢？

$dp_{i,j}$前$i$个数乘积为$j$的方案

\[dp_{i,j}=\sum dp_{i-1,ab\% m=j}
\]

思路：利用原根转换问题，然后生成函数用多项式快速幂求一下就行了。

对原根，若$g$是$m$的原根，则$g^0,g^1,\dots,g^{\varphi(m)-1}$遍历$\bmod m$的最小剩余系，就是它们有个一一对应关系

关于求原根，把$\varphi(m)-1$分解质因数得到每个质因子$p_i$,然后从小到大枚举原根$g$，检验每个质因子是否有$g^{\frac{\varphi(m)-1}{p_i}}\equiv 1 \pmod m$，如果所有质因子都没有，$g$就是原根，因为原根非常的小，所以这个复杂度是正确的。

然后把前面$ab\%m=j$换掉，就成了$(a’+b')\%(m-1)=j'$

然后你构造生成函数$f_i=\sum is_ix^{i-1}$，$is_i$代表最开始转换后这个值存不存在。

然后发现结果就是这个$\tt f^n$，写一个$NTT$快速幂就成了，复杂度$O(m\log m\log n)$

Code:

#include <cstdio>

#include <algorithm>

const int N=(1<<14)+10;

const int mod=1004535809,Gi=334845270;

#define add(x,y,p) ((x+y)%p)

#define mul(x,y,p) (1ll*(x)*(y)%p)

int qp(int d,int k,int p){int f=1;while(k){if(k&1) f=mul(f,d,p);d=mul(d,d,p),k>>=1;}return f;}

int A[N],B[N],F[N],D[N],n,m,turn[N],to[N],len=1;

int GetG(int x)

{

    int s[1010]={0},phi=x-1,t=x-1;

    for(int i=2;i*i<=t;i++)

    {

        if(t%i==0)

        {

            s[++s[0]]=i;

            while(t%i==0) t/=i;

        }

    }

    if(t!=1) s[++s[0]]=t;

    for(int i=2;i<x;i++)

    {

        int flag=1;

        for(int j=1;j<=s[0];j++)

            if(qp(i,phi/s[j],x)==1)

            {

                flag=0;

                break;

            }

        if(flag) return i;

    }

    return -1;

}

void NTT(int *a,int typ)

{

    for(int i=0;i<len;i++) if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);

    for(int le=1;le<len;le<<=1)

    {

        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1),mod);

        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)

        {

            int w=1;

            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn,mod))

            {

                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le],mod);

                a[i]=add(tx,ty,mod);

                a[i+le]=add(tx,mod-ty,mod);

            }

        }

    }

    if(!typ)

    {

        int inv=qp(len,mod-2,mod);

        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv,mod);

    }

}

void Rev()

{

    int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1) ++L;

    for(int i=1;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;

}

void polymul(int *a,int *b)

{

    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i],a[i]=0;

    NTT(A,1),NTT(B,1);

    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=mul(A[i],B[i],mod);

    NTT(A,0);

    for(int i=0;i<len;i++) a[i%(m-1)]=add(a[i%(m-1)],A[i],mod);

}

int main()

{

    int s,x;

    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&s);

    int g=GetG(m);

    while(len<=(m<<1))len<<=1;Rev();

    for(int f=1,i=0;i<m-1;i++,f=mul(f,g,m))

        to[f]=i;

    for(int x,i=1;i<=s;i++)

    {

        scanf("%d",&x);

        if(x) F[to[x]]=1,D[to[x]]=1;

    }

    --n;

    while(n)

    {

        if(n&1) polymul(F,D);

        polymul(D,D);

        n>>=1;

    }

    printf("%d\n",F[to[x]]);

    return 0;

}

2018.12.17