hiho 第118周 网络流四·最小路径覆盖

描述

国庆期间正是旅游和游玩的高峰期。

小Hi和小Ho的学习小组为了研究课题，决定趁此机会派出若干个调查团去沿途查看一下H市内各个景点的游客情况。

H市一共有N个旅游景点(编号1..N)，由M条单向游览路线连接。在一个景点游览完后，可以顺着游览线路前往下一个景点。

为了避免游客重复游览同一个景点，游览线路保证是没有环路的。

每一个调查团可以从任意一个景点出发，沿着计划好的游览线路依次调查，到达终点后再返回。每个景点只会有一个调查团经过，不会重复调查。

举个例子：

上图中一共派出了3个调查团：

1. 蓝色：调查景点；2

2. 橙色：调查景点；1->3->4->6

3. 绿色：调查景点；5->7

当然对于这个图还有其他的规划方式，但是最少也需要3个调查团。

由于小组内的人数有限，所以大家希望调查团的数量尽可能少，同时也要将所有的景点都进行调查。

当然，如何规划调查团线路的任务落到了小Hi和小Ho的头上。

提示：最小路径覆盖

小Ho：所以这一次我们应该如何来解决这个问题呢？

小Hi：嗯，这次的问题被称为最小路径覆盖。给定一个有向无环图，用最少的路径数量去保证所有点都被覆盖住。

小Ho：既然有名字，那一定有固定的解法了？

小Hi：没错，最小路径覆盖的结果等于N-最大二分匹配。

小Ho：二分匹配？这和二分匹配有什么关系？给定的有向图不一定是二分图吧。

小Hi：当然不是在原图上进行的二分匹配了。我们需要对原图进行转化，同时这一次我们还要学习如何用网络流去解决二分匹配的问题。

小Ho：好，你快给我讲讲。

小Hi：好的好的，你别急。我们先从例子来分析：

在这个例子中，我们选择的三条路径都被染上了颜色。你有发现什么特殊之处么？

小Ho：嗯...<小Ho思考了一小会儿>...并没有什么特别的地方啊？

小Hi：把黑色的边去掉，你再看看呢？主要注意的是每个点的出入度数量。

小Ho：对于一条路径，起点的入度为0，终点的出度为0，中间节点的出入度都为1。但这不是路径都应该具有的性质么？

小Hi：这个性质就是我们解决题目的关键！

每一个点最多只能有1个后继，同时每一个点最多只能有1个前驱。

假如我们选择了一条边(u,v)，也就等价于把前驱u和后继v匹配上了。这样前驱u和后继v就不能和其他节点匹配。

小Ho：那就是一个前驱匹配一个后继？

小Hi：是的，利用这个我们可以这样来构图：

将每一个点拆分成2个，分别表示它作为前驱节点和后继节点。将所有的前驱节点作为A部，所有后继节点作为B部。

接下来进行连边，若原图中存在一条边(u,v)，则连接A部的u和B部的v。

那么小Ho，你在这个上面做一个最大二分匹配怎么样？

小Ho：好！......完成了。

小Hi：不错，让我再把对应的颜色染出来：

其中实线表示被选中的匹配，虚线表示未被选中的。

有没有发现，和原图刚好有着对应的关系。未被选中的匹配也正好对应了原图中我们没有选择的黑色边。

小Ho：是的呢？这是为什么呢？

小Hi：其实原理很简单。我们进行的匹配是前驱和后继的匹配。假如存在选中的匹配(i,j)和(j,k)。则表示原图中存在一条路径(i,j,k)。

比如例子中的匹配(1,3),(3,4),(4,6)就对应了原图中的路径(1,3,4,6)。

这样在匹配结束的时候，我们就可以直接通过匹配的情况来确定选中的路径。

小Ho：这个我懂了，但是如何保证这样就能得到最小的路径覆盖呢？

小Hi：你想想，每一条路径起点有什么特殊的地方？

小Ho：路径的起点入度为0...哦！我知道了。

如果一个点是路径起点的话，它在B部的节点一定是没有匹配上的。

经过最大匹配算法后，B部剩下没有被匹配的点一定是最少的，也就对应了最小需要的路径数。

所以最小路径覆盖的结果才是N-最大匹配数。

小Hi：正是这样，这样问题也就解决了。接下来第二个问题，怎么用网络流来解决二分匹配呢？

小Ho：上一次我们讲了二分多重匹配，二分匹配不就是它的简化版么。

只需要把源点s到A部的边和B部到汇点t的边容量限定为1就可以了！

小Hi：嗯，那么就只差最后一步了。

小Ho：这我也知道！实现嘛，交给我吧！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 550*2
#define INF 0x3f3f3f3f

struct Edge
{
    int from,to,cap,flow;
};

struct Dinic
{
    int n,m,s,t;
    vector<Edge> edge;
    vector<int> G[maxn];
    bool vis[maxn];
    int d[maxn];
    int cur[maxn];

    void init()
    {
        for(int i=;i<maxn;i++)
            G[i].clear();
        edge.clear();
        memset(d,,sizeof(d));
        memset(vis,,sizeof(vis));
        memset(cur,,sizeof(cur));
    }

    void addEdge (int from,int to,int cap)
    {
        edge.push_back((Edge){from,to,cap,});
        edge.push_back((Edge){to,from,,});
        m = edge.size();
        G[from].push_back(m-);
        G[to].push_back(m-);
    }

    bool BFS()
    {
        memset(vis,,sizeof(vis));
        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        d[s] = ;
        vis[s] = ;
        while(!Q.empty())
        {
            int x = Q.front();
            Q.pop();
            for(int i=; i<G[x].size(); i++)
            {
                Edge & e = edge[G[x][i]];
                if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow)
                {
                    vis[e.to] = ;
                    d[e.to] = d[x] + ;
                    Q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }

    int DFS(int x,int a)
    {
        if(x==t||a==) return a;
        int flow = ,f;
        for(int & i = cur[x]; i<G[x].size(); i++)
        {
            Edge & e = edge[G[x][i]];
            if(d[x] + ==d[e.to]&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>)
            {
                e.flow +=f;
                edge[G[x][i]^].flow -=f;
                flow +=f;
                a-=f;
                if(a==) break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int Maxflow (int s,int t) {
        this->s = s;this->t = t;
        int flow = ;
        while(BFS()) {
            memset(cur,,sizeof(cur));
            flow+=DFS(s,INF);
        }
        return flow;
    }

    //求最小割S,T;
    void new_BFS(int s,int n)
    {
        memset(vis,,sizeof(vis));
        d[s] = ;
        vis[s] = ;
        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        while(!Q.empty())
        {
            int u = Q.front();
            Q.pop();

            for(int i=;i<G[u].size();i++)
            {
                Edge & e = edge[G[u][i]];
                if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow)
                {
                    vis[e.to] = ;
                    d[e.to] = d[u] + ;
                    Q.push(e.to);
                }
            }
        }

        int cnt = ;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            if(vis[i]) cnt++;
        }
        printf("%d\n",cnt);
        for(int i=;i<=n;i++)
            if(vis[i]) printf("%d ",i);
        puts("");
    }

}sol;

int main()
{

    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int s = ,t = *n+;
    sol.init();
    for(int i=;i<m;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        sol.addEdge(u,v+n,);
    }

    for(int i=;i<=n;i++)
        sol.addEdge(,i,);
    for(int i=n+;i<=*n;i++)
        sol.addEdge(i,t,);

    printf("%d\n",n-sol.Maxflow(s,t));

    return ;
}

有向无环图的最小路径覆盖。

建图：

把每个点，拆成入点，和出点，一条路径就是在B块一定是匹配了的，也就是说要求的最小路径覆盖，就是那些没有匹配的点，经过最大匹配后，B块剩下没有匹配的点是最少的，也就对应了最小需要的路径数。

所以： 最小路径覆盖 = N -最大匹配

然后这里求最大匹配，可以直接用匈牙利，也可以网络流。

网络流求最大匹配的建图：

s 到 A块容量为1，A到B有边，容量为1，B块到t容量为1.