【BZOJ2127】happiness（最小割）

题面

Description

高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。

Input

第一行两个正整数n，m。接下来是六个矩阵第一个矩阵为n行m列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。第二个矩阵为n行m列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。第三个矩阵为n-1行m列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。第四个矩阵为n-1行m列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。第五个矩阵为n行m-1列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。第六个矩阵为n行m-1列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。

Output

输出一个整数，表示喜悦值总和的最大值

Sample Input

1 2

1 1

100 110

1000

Sample Output

1210

【样例说明】

两人都选理，则获得100+110+1000的喜悦值。

【数据规模】

对于100%以内的数据，n,m<=100 所有喜悦值均为小于等于5000的非负整数

题解

完全不会做

ZSY大佬太强啦！！！

他看了一眼，写了几笔就直接切掉了

太强啦！！！

回归正题

我们当然求最大的答案

自然就是先假设所有答案都能够算上

然后再减去最小的代价

最小的代价？？？---->最小割

抄袭ZSY大佬的方程

假设两个人$x,y$

他们一起选文科的获得的代价是$u$

一起选理科的代价是$v$

假设文科是$S$,理科是$T$

所以，我们知道：

①$x,y$都选理科代价：$u$

②$x,y$都选文科代价：$v$

③$x,y$一文，一理代价：$u+v$

考虑成流量的方程：

$(y,T)+(x,T)=u$

$(S,x)+(S,y)=v$

$(S,x)+(x,y)+(y,T)=u+v$

$(S,y)+(y,x)+(x,T)=u+v$

这样子肯定没法直接建图

所以我们随便找一组解出来

$(S,x)=(S,y)=\frac{u}{2}$

$(x,T)=(y,T)=\frac{v}{2}$

$(x,y)=(y,x)=\frac{u+v}{2}$

这就是这几条边的流量

再算上直接与文科/理科割开的费用

就是最后要求的东西

但是这玩意带分数

会出现掉精度的情况

所以先把所有的东西全部乘以二

最后求出最大流之后再除二就行了

upd：2018.4.3

今天用自己的方式想一想

首先很明显的，源点和汇点分别对应着文科/理科

这要割开就会减去对应的贡献

考虑两个人之间的贡献，两个人如果不选择同一科目，他们之间的连边可定要割掉

现在的问题就是如果两个人一起选择了某个科目，此时文科和理科的贡献是不同的

假设两个人$a,b$，选择文理的贡献分别是$Wa,Wb,La,Lb$

两个人一起选择文科的贡献是$U$,一起选择理科的贡献是$V$

假设他们之间的连边的流量是$x$，文科，理科（源点，汇点）到他们的边的流量是$Sa,Sb,Ta,Tb$

如果两个人一起选择了文科：

割开的是$Ta,Tb$

有：$Ta+Tb=La+Lb+V$

同理，一起选择理科的是$Sa+Sb=Wa+Wb+U$

如果两者一文一理，显然中间的边要隔开

所以有两个方程

$Sa+x+Tb=U+V+Wa+Lb$

$Sb+x+Ta=U+V+Wb+La$

其实，我们现在要找的就是对于任意两个人，他们的$Sa,Sb,Ta,Tb,x$的通解

因为每个人的$Wa,Wb,La,Lb$一定是有这样的单独的边的，

因此，可以把这几项给丢掉，剩下剩余的方程：

$Ta+Tb=V$

$Sa+Sb=U$

$Sa+Tb+x=U+V$

$Sb+Ta+x=U+V$

显然是五个未知数，$4$个方程

随便找一个可行的就可以了，

为了方便连边，我们可以取一个平均的连法

也就是

$Sa=Sb=U/2$

$Ta=Tb=V/2$

$x=(U+V)/2$

这样连边就行了

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define MAXL 500000

#define MAX 50000

#define INF 1000000000

#define MAXN 120

inline int read()

{

    int x=0,t=1;char ch=getchar();

    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

    return x*t;

}

struct Line

{

    int v,next,w;

}e[MAXL];

int h[MAX],cnt;

int S,T,n,m,K;

inline void Add(int u,int v,int w)

{

    e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;

    e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;

}

inline void Add2(int u,int v,int w)

{

	e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;

    e[cnt]=(Line){u,h[v],w};h[v]=cnt++;

}

int level[MAX];

bool BFS()

{

    memset(level,0,sizeof(level));

    level[S]=1;

    queue<int> Q;

    Q.push(S);

    while(!Q.empty())

    {

        int u=Q.front();Q.pop();

        for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].next)

        {

            int v=e[i].v;

            if(e[i].w&&!level[v])

                level[v]=level[u]+1,Q.push(v);

        }

    }

    return level[T];

}

int DFS(int u,int flow)

{

    if(flow==0||u==T)return flow;

    int ret=0;

    for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].next)

    {

        int v=e[i].v;

        if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1)

        {

            int dd=DFS(v,min(flow,e[i].w));

            flow-=dd;ret+=dd;

            e[i].w-=dd;e[i^1].w+=dd;

        }

    }

    return ret;

}

int Dinic()

{

    int ret=0;

    while(BFS())ret+=DFS(S,INF);

    return ret;

}

int bh[MAXN][MAXN];

int g[10][MAXN][MAXN];

int a[MAXN][MAXN];

int b[MAXN][MAXN];

int tot,ans;

int main()

{

	memset(h,-1,sizeof(h));

	n=read();m=read();

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=1;j<=m;++j)

			bh[i][j]=++tot;

	S=0;T=tot+1;

	//S文科 T理科

	for(int Mx=1;Mx<=6;++Mx)

	{

		int xx=n,yy=m;

		if(Mx==3||Mx==4)xx--;

		if(Mx==5||Mx==6)yy--;

		for(int i=1;i<=xx;++i)

			for(int j=1;j<=yy;++j)

			{

				ans+=g[Mx][i][j]=read();

				if(Mx==3)a[i][j]+=g[Mx][i][j],a[i+1][j]+=g[Mx][i][j];

				if(Mx==4)b[i][j]+=g[Mx][i][j],b[i+1][j]+=g[Mx][i][j];

				if(Mx==5)a[i][j]+=g[Mx][i][j],a[i][j+1]+=g[Mx][i][j];

				if(Mx==6)b[i][j]+=g[Mx][i][j],b[i][j+1]+=g[Mx][i][j];

			}

	}

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=1;j<=m;++j)

		{

			Add(S,bh[i][j],a[i][j]+g[1][i][j]*2);

			Add(bh[i][j],T,b[i][j]+g[2][i][j]*2);

		}

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=1;j<=m;++j)

		{

			if(i!=1)Add2(bh[i][j],bh[i-1][j],g[3][i-1][j]+g[4][i-1][j]);

			if(j!=1)Add2(bh[i][j],bh[i][j-1],g[5][i][j-1]+g[6][i][j-1]);

		}

	printf("%d\n",ans-Dinic()/2);

	return 0;

}