求解任意图的最小支配集（Minimun Dominating Set）

给定一个无向图G =（V，E），其中V表示图中顶点集合，E表示边的集合。G的最小控制顶点集合为V的一个子集S∈V；假设集合R表示V排除集合S后剩余顶点集合，即R∩S=∅，R∪S=V；则最小控制顶点集合S满足约束条件：R中任意一个顶点至少与S的一个顶点直接相连。给定一个图，求出最小控制集。

控制集定义：

控制集又称支配集（Minimun Dominating Set），支配集是图G中的顶点集合S ⊆ V,满足对于任何顶点v∈V，要么v∈S，要么v与集合S中至少一个顶点相邻。

最小控制集：

对于支配集S0,不存在任何支配集S1,使|S1|<|S0|,则称S0是图G的最小支配集，γ(G)=|S0|称为图G的支配数；

最小支配集的性质：

1）求最小支配集问题被证明属于NP完全问题,即对于给定问题域的输入规模,目前尚无足够的手段证明该问题能够被判定在多项式时间内求解。

2）在含n个点的任意图中，若任意点的度大于等于3，则该图的最小支配集小于等于3n/8。

3）对于特殊图，如树，可使用贪心或dp的方法解决问题。

将图论问题转化为数学问题：

为了方便说明，我们定义图中节点vi的闭邻集为N[vi]，若vi为支配点赋值为1，否则赋值为0。根据支配集的定义，我们可以看出，图A中每个点要满足的条件即为N[i]的和大于等于一，也就是说，vi及其临集中至少含有一个支配点，而最小支配集则要求v1…vn的和最小，转化为数学公式，也就是特殊的0-1整数规划问题。

设计算法：

输入：一个任意图，格式为，第一行n表示n个节点，接下来任意行，每行两个数，a，b表示a到b有一条无向边。

输出：最小支配集（节点编号）

1）遍历邻接表，找出度为0的节点，直接加入支配集，度为1的节点，其相邻节点加入支配集，并加入支配集，度为1的节点记录为精确取值。

2）将邻接集合按从大到小排序，贪心选择最大的设为支配集，并动态维护邻接集合，直到支配集满足条件，将此支配集设为约束条件。

3）开始深度搜索，首先对该集合判断是否满足条件，若满足，和当前约束条件比较，若小于当前上界，代替约束条件。

4）按顺序遍历节点，若已经明确加入支配集则跳过该节点，若已经超过上界，返回，否则分别将该节点置为0和1，跳到步骤4。

这个算法的朴素时间复杂度是O（2^n）的，理论上一般要优于这个时间复杂度。

Grandoni算法的时间复杂度为O（2^0.61n）,有兴趣的可以去看看论文：路纲, 周明天, 唐勇,等. 任意图支配集精确算法回顾[J]. 计算机学报, 2010, 33(6):1073-1087.