设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f'(x)]^2\rd x -\cfrac{1}{2}\int_a^b [f'(x)]^2 (x-a)^2\rd x. \eex$$

证明: $$\beex \bea \int_a^b f^2(x)\rd x &=\int_a^b \sez{\int_a^xf'(t)\rd t}^2\rd x\\ &\leq \int_a^b \sez{ \int_a^x f'^2(t)\rd t \cdot \int_a^x 1^2\rd t }\rd x\\ &=\int_a^b \int_a^x (x-a)f'^2(t)\rd t\rd x\\ &=\int_a^b \int_t^b (x-a)f'^2(t)\rd x\rd t\\ &=\int_a^b f'^2(t)\int_t^b (x-a)\rd x\rd t\\ &=\int_a^b f'^2(t)\cfrac{(b-a)^2-(t-a)^2}{2}\rd t. \eea \eeex$$

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 积分不等式 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])的更多相关文章

  1. [再寄小读者之数学篇](2014-06-23 二阶导数估计 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

    设 $f(x)$ 二阶连续可导, $f(0)=f(1)=0$, $\dps{\max_{0\leq x\leq 1}f(x)=2}$. 证明: $$\bex \min_{0\leq x\leq 1}f ...

  2. [再寄小读者之数学篇](2014-06-22 积分不等式 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])

    函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $\al\in (0,1)$, $$\bex \int_0^\al f(x)\rd x\geq \al \int_0^1 f(x) ...

  3. [再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合)

    (2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合) 设 ${\bf A},{\bf B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${\b ...

  4. [再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求导数 [中国科学技术大学2014年高等数学B考研试题])

    设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$. 解答: 利用 Leibniz 公式易知 $f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3} n ...

  5. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

    $$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{ ...

  6. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

    (1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &a ...

  7. [再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

    $$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq ...

  8. [再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)

    For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{ ...

  9. [再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H\"older 不等式的应用)

    设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac ...

随机推荐

  1. 周末班:Python基础之并发编程

    进程 相关概念 进程 进程(Process)是计算机中的程序关于某数据集合上的一次运行活动,是系统进行资源分配和调度的基本单位,是操作系统结构的基础.在早期面向进程设计的计算机结构中,进程是程序的基本 ...

  2. springboot use

    https://github.com/ityouknow/spring-boot-examples http://www.ityouknow.com/springboot/2017/06/26/spr ...

  3. .net 添加api不能访问的问题

    在一个.netmvc项目中,本身没有提供api后来想添加api就会出现问题.会发生添加的apicontrol不能访问的情况.这种情况一般是因为,global文件中,application_start( ...

  4. ORACLE跨数据库查询的方法

    原文地址:http://blog.csdn.net/huzhenwei/article/details/2533869 本文简述了通过创建database link实现Oracle跨数据库查询的方法 ...

  5. css设置文字上下居中,一行文字居中,两行或多行文字同样居中。

    转:https://www.cnblogs.com/handsomeBoys/p/6599062.html HTML: <div class="book-detail-store-it ...

  6. 一 Struts2 开发流程

    SSH与SSM简介SSM:Spring+SpringMVC+MybatisSSH:Struts2+Hibernate+SpringStruts2:是侧重于控制层的框架Hibernate:是一个ORM( ...

  7. 10-ajax技术简介

    一.ajax是什么?是网页中的异步刷新技术.其核心是js+xml二.执行过程1.js的核心对象XMLHttpRequest是一个具备像后台发送请求的一个对象2.XMLHttpRequest可以异步发送 ...

  8. sklearn.neural_network.MLPClassifier参数说明

    目录 sklearn.neural_network.MLPClassifier sklearn.neural_network.MLPClassifier MLPClassifier(hidden_la ...

  9. Python人工智能学习笔记

    Python教程 Python 教程 Python 简介 Python 环境搭建 Python 中文编码 Python 基础语法 Python 变量类型 Python 运算符 Python 条件语句 ...

  10. PS教您与粗壮的胳膊拜拜

    Step 01在Photoshop 中打开素材图片,图中圈出的地方是需要调整的. Step 02用[套索工具]圈出胳膊及周围的环境. Step 03单击右键,选择[羽化],设置[羽化半径]为20 像素 ...