luoguP4719 【模板】动态 DP

题意

我理解的动态DP：

发现DP可以写成矩阵的形式，因此用数据结构维护矩阵乘积。

对于这道题，显然有DP：

\(f_{x,0/1}\)表示\(x\)的子树中，x选/不选的最大点独立集。

\(f_{x,0}=\sum\limits_{y\in son_x}\max(f_{y,0},f_{y,1}),f_{x,1}=\sum\limits_{y\in sno_x}f_{y,0}+a_x\)

既然在树上，就用树剖或者LCT解决，本质都是将树拆成链，这里用树剖。

设\(son_x\)表示\(x\)的重儿子，\(g_{x,0/1}\)表示除去\(son_x\)后的\(f_{x,0}\)的值。

有：

\(f_{x,0}=g_{x,0}+\max(f_{son_x,0},f_{son_x,1}),f_{x,1}=g_{x,1}+f_{son_x,0}\)，注意\(g_{x,1}\)初值为\(a_x\)。

DP写成矩阵的形式：

\(\begin{bmatrix}g_{x,0}&g_{x,0}\\g_{x,1}& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{y,0}\\ f_{y,1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{x,0}\\ f_{x,1}\end{bmatrix}\)

注意这里的矩乘长这样：

Mat operator*(Mat a,Mat b)
{
	Mat res;
	for(int i=1;i<=2;i++)
		for(int j=1;j<=2;j++)
			for(int k=1;k<=2;k++)
				res[i][j]=max(res[i][j],a[i][k]+b[k][j]);
	return res;
}

之后就正常树剖修改查询即可

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls(p) (p<<1)
#define rs(p) (p<<1|1)
const int maxn=1e5+10;
int n,m,cnt,tim;
int head[maxn],a[maxn],size[maxn],pre[maxn],dep[maxn],son[maxn],dfn[maxn],pos[maxn],top[maxn],ed[maxn];
int f[maxn][2];
struct edge{int to,nxt;}e[maxn<<1];
struct Mat
{
	int a[5][5];
	Mat(){memset(a,-0x3f,sizeof(a));}
	int* operator[](int i){return a[i];}
}val[maxn],seg[maxn<<2];
Mat operator*(Mat a,Mat b)
{
	Mat res;
	for(int i=1;i<=2;i++)
		for(int j=1;j<=2;j++)
			for(int k=1;k<=2;k++)
				res[i][j]=max(res[i][j],a[i][k]+b[k][j]);
	return res;
}
inline void add(int u,int v)
{
	e[++cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
	e[cnt].to=v;
}
void dfs1(int x,int fa)
{
	dep[x]=dep[fa]+1;pre[x]=fa;size[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(y==fa)continue;
		dfs1(y,x);size[x]+=size[y];
		if(size[son[x]]<size[y])son[x]=y;
	}
}
void dfs2(int x,int tp)
{
	dfn[x]=++tim;pos[tim]=x;top[x]=tp;ed[tp]=max(ed[tp],tim);
	f[x][0]=0,f[x][1]=a[x];
	val[x][1][1]=val[x][1][2]=0;
	val[x][2][1]=a[x];
	if(son[x])
	{
		dfs2(son[x],tp);
		f[x][0]+=max(f[son[x]][0],f[son[x]][1]);
		f[x][1]+=f[son[x]][0];
	}
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(y==pre[x]||y==son[x])continue;
		dfs2(y,y);
		f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
		f[x][1]+=f[y][0];
		val[x][1][1]+=max(f[y][0],f[y][1]);
		val[x][1][2]=val[x][1][1];
		val[x][2][1]+=f[y][0];
	}
}
inline void up(int p){seg[p]=seg[ls(p)]*seg[rs(p)];}
void build(int p,int l,int r)
{
	if(l==r){seg[p]=val[pos[l]];return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls(p),l,mid);build(rs(p),mid+1,r);
	up(p);
}
void change(int p,int l,int r,int k)
{
	if(l==r){seg[p]=val[pos[k]];return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(k<=mid)change(ls(p),l,mid,k);
	else change(rs(p),mid+1,r,k);
	up(p);
}
Mat query(int p,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(l>=ql&&r<=qr)return seg[p];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(qr<=mid)return query(ls(p),l,mid,ql,qr);
	else if(ql>mid)return query(rs(p),mid+1,r,ql,qr);
	else return query(ls(p),l,mid,ql,qr)*query(rs(p),mid+1,r,ql,qr);
}
inline void trchange(int x,int k)
{
	val[x][2][1]+=k-a[x];
	a[x]=k;
	Mat tmp1,tmp2;
	while(x)
	{
		tmp1=query(1,1,n,dfn[top[x]],ed[top[x]]);
		change(1,1,n,dfn[x]);
		tmp2=query(1,1,n,dfn[top[x]],ed[top[x]]);
		x=pre[top[x]];
		val[x][1][1]+=max(tmp2[1][1],tmp2[2][1])-max(tmp1[1][1],tmp1[2][1]);
		val[x][1][2]=val[x][1][1];
		val[x][2][1]+=tmp2[1][1]-tmp1[1][1];
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v),add(v,u);
	}
	dfs1(1,0);dfs2(1,1);
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
		trchange(x,y);
		a[x]=y;
		Mat res=query(1,1,n,dfn[1],ed[1]);
		printf("%d\n",max(res[1][1],res[2][1]));
	}
	return 0;
}