【BZOJ】【3675】【APIO2014】序列分割

DP+斜率优化

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　　首先我们根据这个分割的过程可以发现：总得分等于k+1段两两的乘积的和（乘法分配律），也就是说与分割顺序是无关的。

　　再对乘积进行重分组（还是乘法分配律）我们可以转化为：$ans=\sum$第 i 段×前 i-1 段的和

　　所以我们就可以以分割次数为阶段进行DP啦～

　　令f[i][j]表示将前 j 个数分成 i 段的最大得分，那么就有$$f[i][j]=max\{ f[i-1][k]+sum[k]×(sum[j]-sum[k]) \}$$我们观察到这个式子其实是很像斜率优化的……而且sum明显满足单调性！所以来推一下决策单调性的式子=。=

　　当决策k1<k2时：

　　$$ \begin{aligned} f[i-1][k1]+sum[k1]*(sum[j]-sum[k1]) &< f[i-1][k2]+sum[k2]*(sum[j]-sum[k2]) \\ sum[j]*(sum[k1]-sum[k2]) &< f[i-1][k2]-f[i-1][k1]+sum[k1]^2-sum[k2]^2 \\ sum[j] &> \frac{f[i-1][k2]-f[i-1][k1]+sum[k1]^2-sum[k2]^2}{sum[k1]-sum[k2]} \end{aligned}$$

　　这题我被坑在：$sum[k1]-sum[k2]\leq 0$！！！

　　所以搞斜率的时候，分母可能为0……所以就不能写成斜率的形式，而是搞成上一行那种……但是由于有个负数，所以还要仔细考虑不等号的方向！QAQ

 /**************************************************************
     Problem: 3675
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:18176 ms
     Memory:5180 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 3675
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 inline int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=1e5+,INF=~0u>>;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/
 LL f[][N],a[N],sum[N];
 int from[N],n,m,q[N];
 double slope(int i,int j,int k){
     i=i&;
     return double(f[i][k]-f[i][j]+sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k]);
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("3675.in","r",stdin);
     freopen("3675.out","w",stdout);
 #endif
     n=getint(); m=getint();
     F(i,,n) a[i]=getint(),sum[i]=sum[i-]+a[i];
     F(i,,m){
         int now=i&;
         int l=,r=-; q[]=;
         F(j,,n){
             while(l<r && slope(i-,q[l],q[l+])>=sum[j]*(sum[q[l]]-sum[q[l+]])) l++;
             int t=q[l];
             f[now][j]=f[now^][t]+sum[t]*(sum[j]-sum[t]);
             while(l<r && slope(i-,q[r-],q[r])*(sum[q[r]]-sum[j])>=slope(i-,q[r],j)*(sum[q[r-]]-sum[q[r]])) r--;
             q[++r]=j;
         }
     }
     printf("%lld\n",f[m&][n]);
     return ;
 }

3675: [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分割序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长
度为N的非负整数序列分割成k+l个非空的子序列。为了得到k+l个子序列，
小H将重复进行七次以下的步骤：
1．小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的
序列一一也就是一开始得到的整个序列）；
2．选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新
序列。
每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序
列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方案，使得k轮（次）之后，
小H的总得分最大。

Input

输入文件的第一行包含两个整数n和尼(k+1≤n)。
第二行包含n个非负整数a1，n2…．，an(0≤ai≤10^4)，表示一开始小H得
到的序列。

Output

一行包含一个整数，为小H可以得到的最大得分。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=

20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

Source

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