3d数学 7 矩阵

7.1 矩阵-数学定义

在线性代数中, 矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块。矩阵是向量的数组。

7.1.1 矩阵的维度和记法

矩阵的维度被定义为它包含了多少行和多少列。一个$r \times c$矩阵有r行， c列。下面是一个$4 \times 3$矩阵的例子：
$\begin{bmatrix} 4 & 0 & 12 \\ -5 & 4 & 3 \\ 12 & -4/3 & -1 \\ 1/2 & 18 & 0 \\ \end{bmatrix}$

黑色大写字母表示矩阵，如：M，A，R。需要引用矩阵的分量时，采用下标法，常用对应的斜体小写字母。如下$3 \times 3$矩阵所示：
$\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix}$

7.1.2 方阵

行数和列数相同的矩阵称为方阵。
方阵的对角线元素就是方阵中行号和列号相同的元素。

对角矩阵

所有非对角线元素都是0，如：
$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$

单位矩阵

$n$维单位矩阵记作$I_n$，是$n \times n$矩阵，对角线元素都为1，其他元素为0。如，$3 \times 3$单位矩阵：
$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

7.1.3 向量做为矩阵使用

矩阵的行数和列数可以是任意正整数，当然也包括1。一个$n$维向量能被当作$1 \times n$矩阵或$n \times 1$矩阵。$1 \times n$矩阵称为行向量，$n \times 1$矩阵称为列向量。如：
$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}$

7.1.4 转置

一个$r \times c$矩阵$M$。$M$的转置记作$M^T$，是一个$c \times r$矩阵($M_{ij}^T = M_{ji}$)，即沿着矩阵的对角线翻折。
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 & 10\\ 2 & 5 & 8 & 11\\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ \end{bmatrix}$

行列向量之间的转换

$\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix}^T$

基本原理

对任意矩阵$M$, $(M^T)^T = M$
对于任意对角矩阵$D$, 都有$D^T = D$，包括单位矩阵$I$也是如此。

7.1.5 标量和矩阵的乘法

矩阵$M$和标量$k$相乘，结果是一个和$M$维数相同的矩阵。记法如下：

$kM = k \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} km_{11} & km_{12} & km_{13} \\ km_{21} & km_{22} & km_{23} \\ km_{31} & km_{32} & km_{33} \\ \end{bmatrix}$

7.1.6 矩阵乘法

$C = AB$
$c_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$

如：
$AB = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\ \end{bmatrix}$

乘法规则

$MI = IM = M$
不满足交换律：$AB \ne BA$
结合律：$(AB)C = A(BC)$
与标量的结合律：$(kA)B = k(AB) = A(kB)$
转置: $(AB)^T = B^TA^T$

7.2 矩阵 - 几何解释

一般来说，方阵能描述任意线性变换。

$\begin{bmatrix}1 \\ -3 \\ 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ -3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$

一般来说：任意向量$v$都能写为“扩展”形式：
$v=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ y \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ z \\ \end{bmatrix}$
或
$v=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$
注意，右边的单位向量就是$x,y,z$轴，用向量重写上面的等式，分别用$p, g, r$定义为指向$+x, +y, +z$方向的单位向量
$v = xp + yp + zr$

将向量表示为基向量的线性组和

用三个向量$p, q, r$来构建一个$3 \times 3$的矩阵$M$，可以得到如下公式

$M=\begin{bmatrix}p \\ q \\ r \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p_x & p_y & p_z \\ q_x & q_y & q_z \\ r_x & r_y & r_z \\ \end{bmatrix}$

用一个向量乘以该矩阵，得到：
$\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_x & p_y & p_z \\ q_x & q_y & q_z \\ r_x & r_y & r_z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}xp_x + yq_x + zr_x & xp_y + yq_y + zr_y & xp_z + yq_z + zr_z\end{bmatrix} = xp + yq + zr$

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该向量就相当于执行了一次坐标转换。若有$aM = b$，我们就可以说，$M$将$a$转换到$b$。