[Arc062] Painting Graphs with AtCoDeer

Description

给定一张N点M边的无向图，每条边要染一个编号在1到K的颜色。你可以对一张染色了的图进行若干次操作，每次操作形如，在图中选择一个简单环（即不经过相同点的环），并且将其颜色逆时针旋转一个单位。形式的说，假设你选择的环上的边按顺序依次是e1, e2, ... ,ek，那么经过一次操作后ei mod n+1的颜色会变成操作前ei的颜色。两种染色方案被认为是本质相同的，当且仅当其中一种染色后

的图经过若干次操作后可以变成另一种染色后的图。问有多少本质不同的染色方案，输出对109+7取模。

Input

第一行三个正整数N M K

接下来M行每行两个正整数表示图中的一条边。

Output

输出一行一个非负整数表示答案。

Sample Input

Sample Input 1

4 4 2

1 2

2 3

3 1

3 4

Sample Input 2

5 2 3

1 2

4 5

Sample Input 3

11 12 48

3 1

8 2

4 9

5 4

1 6

2 9

8 3

10 8

4 10

8 6

11 7

1 8

Sample Output

Sample Output 1

Sample Output 2

Sample Output 3

569519295

HINT

1≤N≤50

1≤M, K≤100

试题分析

首先对于每条不在任何环中的边，其贡献是$K$倍，因为它可以染任意颜色并且不与其它边交换。

那么剩下的就是若干个边互不相交的极大点双联通分量，肯定分别来求。

考虑一个大小为4的环，中间对角线有一条边，那么猜想它的任意两条边都可以交换。

分类讨论证明，即证明如上描述图中的一条长度为3的链，可以任意像大小为3的环那样交换，并证明如上描述图中4环上的一条边能与对角线交换，即可证明可以随意交换。

画个图就是长成下面这个样子：

但是还剩下“裸环”的情况，这就是裸的$Polya$定理了，简述一下$Polya$定理： $$Ans=\frac{1}{|G|}(m^{c(f_1)}+m{c(f_2)} \ldots m^{c{f_G}})$$

其中$c(x)$即为循环个数，由$Burnside$引理中的“不动点”个数求出，“不动点”个数即为循环个数乘上颜色数，因为循环各个独立，只要保证一个循环中所有点都是同种颜色的即可。

另外，$c(x)=gcd(i,G)$，证明请见：link

对于点双联通分量不是“裸环”的情况组合数隔板法即可。

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<vector>

#include<stack>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define LL long long

inline LL read(){

	LL x=0,f=1; char c=getchar();

	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;

	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';

	return x*f;

}

const LL INF = 2147483600;

const LL MAXN = 100010;

const LL Mod = 1e9+7;

LL N,M,K; LL cnt;

struct edge{

	LL u,v; edge(LL uu=0,LL vv=0){

		u=uu; v=vv;

	}

}edg[MAXN+1];

LL fac[MAXN+1],ifac[MAXN+1],inv[MAXN+1];

LL Node[MAXN<<1],Next[MAXN<<1],Root[MAXN<<1];

LL sz[MAXN+1]; bool inq[MAXN+1];

vector<edge> vec[MAXN+1];

LL fa[MAXN+1]; bool vis[MAXN+1];

LL tim,col,top; LL q[MAXN+1];

inline LL Pow(LL a,LL b){

	LL res=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%Mod) if(b&1) res=res*a%Mod; return res;

}

inline void insert(LL u,LL v){

	Node[++cnt]=v; Next[cnt]=Root[u]; Root[u]=cnt; return ;

} LL dfn[MAXN+1],low[MAXN+1],sta[MAXN+1];

LL ans=1;

inline LL gcd(LL a,LL b){

	if(!b) return a; return gcd(b,a%b);

}

inline LL Polya(LL sz){

	//cout<<"Polya:"<<sz<<endl;

	LL res=0; for(LL i=1;i<=sz;i++) (res+=Pow(K,gcd(i,sz)))%=Mod;

	return res*Pow(sz,Mod-2)%Mod;

}

inline LL C(LL n,LL m){

	if(n<m) return 0; if(!m) return 1;

	return fac[n]*ifac[m]%Mod*ifac[n-m]%Mod;

}

inline void dfs(LL k,LL fa){

	dfn[k]=low[k]=++tim; sta[++top]=k;

	for(LL x=Root[k];x;x=Next[x]){

		LL v=Node[x];

		if(v==fa) continue;

		if(!dfn[v]){

			dfs(v,k); low[k]=min(low[k],low[v]);

			if(dfn[k]<=low[v]){

				LL tp=0,sz=0; ++col;

				memset(vis,false,sizeof(vis));

				while(q[tp]!=v){

					vis[sta[top]]=1; q[++tp]=sta[top]; --top;

				} vis[k]=1; q[++tp]=k;

				for(LL j=1;j<=tp;j++)

					for(LL x1=Root[q[j]];x1;x1=Next[x1])

						if(vis[Node[x1]]) ++sz;

				sz>>=1;

				if(sz<tp) ans=ans*K%Mod;

				else if(tp==sz) ans=ans*Polya(sz)%Mod;

				else ans=ans*C(sz+K-1,K-1)%Mod;

			}

		} else {

			low[k]=min(low[k],dfn[v]);

		}

	} return ;

} 

int main(){

	//freopen(".in","r",stdin);

	//freopen(".out","w",stdout);

	N=read(),M=read(),K=read(); //LL ans=1;

	fac[0]=1;

	for(LL i=1;i<=MAXN;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%Mod;

	inv[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;

	for(LL i=2;i<=MAXN;i++) inv[i]=(Mod-(Mod/i))*inv[Mod%i]%Mod,ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%Mod;

	for(LL i=1;i<=M;i++){

		LL u=read(),v=read();

		insert(u,v); insert(v,u);

		edg[i].u=u; edg[i].v=v; //E[u][v]=E[v][u]=true;

	}

	for(LL i=1;i<=N;i++)

		if(!dfn[i]) dfs(i,0);

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}