P4199-万径人踪灭【FFT】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4199

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题目大意

给出一个只包含\(a,b\)的字符串

求有多少个不连续的回文子序列（字母回文，位置对称）

\(1\leq n\leq 10^5\)

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解题思路

这个不连续一看就很nt，考虑求出所有的再减去连续的

对于每个对称轴来说，\(a,b\)分开考虑贡献再乘起来再减去一（两个都为空）。

加入计算\(a\)的贡献，就是看有多少对\(a\)以它为对称轴，设为\(k\)对，那么方案就是\(2^k\)。

怎么对于每个对称轴快速计算有多少对？也就是每对\(a\)都会对他们的对称轴产生贡献，假设\(i\)于\(j\)都是\(a\)，那么对称轴就是\(\frac{i+j}{2}\)，这个直接\(FFT\)就可以了

然后\(b\)同理。

然后字符串hash+二分计算连续的方案就好了

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353,p=1e9+7;
const ull g=131;
ll n,l,a[N],b[N],r[N],ans;
ull pw[N],h[N],d[N];
char s[N];
ll power(ll x,ll b,ll P){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void NTT(ll *f,ll op){
	for(ll i=0;i<n;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll tmp=power(3,(P-1)/p,P),len=(p>>1);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2,P);
		for(ll k=0;k<n;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=buf*f[i+len]%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(n,P-2,P);
		for(ll i=0;i<n;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
ull geth(ll l,ll r)
{return h[r]-h[l-1]*pw[r-l+1];}
ull getd(ll l,ll r)
{return d[l]-d[r+1]*pw[r-l+1];}
signed main()
{
	scanf("%s",s);l=strlen(s);
	for(ll i=0;i<l;i++)
		a[i]=(s[i]=='a'),b[i]=(s[i]=='b');
	n=1;while(n<2*l)n<<=1;
	for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
	NTT(a,1);NTT(b,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*a[i]%P,b[i]=b[i]*b[i]%P;
	NTT(a,-1);NTT(b,-1);
	for(ll i=0;i<n;i++)a[i]=(a[i]+1)/2,b[i]=(b[i]+1)/2;
	for(ll i=0;i<n;i++)
		(ans+=power(2,a[i]+b[i],p)%p-1)%=p;
	pw[0]=1;
	for(ll i=1;i<=l;i++)pw[i]=pw[i-1]*g;
	for(ll i=1;i<=l;i++)h[i]=h[i-1]*g+s[i-1]-'a';
	for(ll i=l;i>=1;i--)d[i]=d[i+1]*g+s[i-1]-'a';
	for(ll i=1;i<=l;i++){
		ll L=1,R=min(i,l-i+1)-1;
		while(L<=R){
			ll mid=(L+R)>>1;
			if(geth(i-mid,i+mid)==getd(i-mid,i+mid))L=mid+1;
			else R=mid-1;
		}
		ans-=R+1;
	}
	for(ll i=1;i<l;i++){
		ll L=1,R=min(i,l-i);
		while(L<=R){
			ll mid=(L+R)>>1;
			if(geth(i-mid+1,i+mid)==getd(i-mid+1,i+mid))L=mid+1;
			else R=mid-1;
		}
		ans-=R;
	}
	printf("%lld\n",(ans%p+p)%p);
	return 0;
}