洛谷 P4094 [HEOI2016/TJOI2016]字符串（SA+主席树）

题面传送门

一道码农题…………

u1s1 感觉这类题目都挺套路的，就挑个有代表性的题写一篇题解罢。

首先注意到答案满足可二分性，故考虑二分答案 \(mid\)，转化为判定性问题。

考虑怎样检验 \(mid\) 是否可行，它等价于是否存在 \(s[a...b]\) 中的一个子串 \(t\) 满足 \(s[c...c+mid-1]\) 为 \(t\) 的前缀。不过不难发现这个“前缀”是假的，因为 \(\forall a\le l\le r\le b\)，\(s[l...r]\) 的任意一个前缀都是 \(s[a...b]\) 的子串，故只需检验 \(s[c...c+mid-1]\) 是否为 \(s[a...b]\) 的子串。而根据 LCP Lemma 的知识可知这个东西又可以转化为 \(\exist x\in[a,b-mid+1]\) 使得 \(\text{LCP}(x,c)\geq mid\)。

很明显满足 \(\text{LCP}(x,c)\geq mid\) 的 \(x\) 在字典序上一定是一段连续的区间 \([L,R]\)，这个区间可以通过二分+ST 表求出，因此 \(\exist x\in[a,b-mid+1],\text{LCP}(x,c)\ge mid\Leftrightarrow\exist i\in[L,R],sa_i\in[a,b-mid+1]\)。考虑以后缀编号为下标建立主席树，第 \(i\) 棵树上 \([l,r]\) 的区间中表示在字典序前 \(i\) 的后缀中有多少个属于区间 \([l,r]\)，然后在编号 \(R,L-1\) 为下标的两棵主席树上查询下标为 \([a,b-mid+1]\) 中的数之和并相减，判断是否 \(>0\) 即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(n\log^2n)\)。常数巨大……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
namespace fastio{
	#define FILE_SIZE 1<<23
	char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
	inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
	inline void putc(char x){(*p3++=x);}
	template<typename T> void read(T &x){
		x=0;char c=getchar();T neg=0;
		while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
		while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		if(neg) x=(~x)+1;
	}
	template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
	template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
	void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
const int MAXN=2e5;
const int MAXP=MAXN*40;
const int LOG_N=18;
int n,qu;char s[MAXN+5];pii x[MAXN+5];
int sa[MAXN+5],rk[MAXN+5],buc[MAXN+5],seq[MAXN+5],ht[MAXN+5];
int st[MAXN+5][LOG_N+2];
void getsa(){
	int vmax=122,gr=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) buc[s[i]]++;
	for(int i=1;i<=vmax;i++) buc[i]+=buc[i-1];
	for(int i=n;i;i--) sa[buc[s[i]]--]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(s[sa[i]]!=s[sa[i-1]]) gr++;
		rk[sa[i]]=gr;
	} vmax=gr;
	for(int k=1;k<=n;k<<=1){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(i+k<=n) x[i]=mp(rk[i],rk[i+k]);
			else x[i]=mp(rk[i],0);
		} memset(buc,0,sizeof(buc));gr=0;int num=0;
		for(int i=n-k+1;i<=n;i++) seq[++num]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>k) seq[++num]=sa[i]-k;
		for(int i=1;i<=n;i++) buc[x[i].fi]++;
		for(int i=1;i<=vmax;i++) buc[i]+=buc[i-1];
		for(int i=n;i;i--) sa[buc[x[seq[i]].fi]--]=seq[i];
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(x[sa[i]]!=x[sa[i-1]]) gr++;
			rk[sa[i]]=gr;
		} vmax=gr;if(vmax==n) break;
	}
}
void getht(){
	int k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(rk[i]==1) continue;if(k) k--;
		int j=sa[rk[i]-1];
		while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k]) k++;
		ht[rk[i]]=k;
	}
}
void buildst(){
	for(int i=1;i<=n;i++) st[i][0]=ht[i];
	for(int i=1;i<=LOG_N;i++) for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
		st[j][i]=min(st[j][i-1],st[j+(1<<i-1)][i-1]);
}
int query(int l,int r){
//	printf("%d %d\n",l,r);
	int k=log2(r-l+1);
	return min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}
namespace segtree{
	struct node{int ch[2],val;} s[MAXP+5];
	int ncnt,rt[MAXN+5];
	void build(int &k,int l,int r){
		k=++ncnt;if(l==r) return;int mid=l+r>>1;
		build(s[k].ch[0],l,mid);build(s[k].ch[1],mid+1,r);
	}
	int modify(int k,int l,int r,int p,int x){
		int z=++ncnt;s[z]=s[k];s[z].val+=x;
		if(l==r) return z;
		int mid=l+r>>1;
		if(p<=mid) s[z].ch[0]=modify(s[k].ch[0],l,mid,p,x);
		else s[z].ch[1]=modify(s[k].ch[1],mid+1,r,p,x);
		return z;
	}
	int query(int k,int l,int r,int ql,int qr){
		if(ql<=l&&r<=qr) return s[k].val;
		int mid=(l+r)>>1;
		if(qr<=mid) return query(s[k].ch[0],l,mid,ql,qr);
		else if(ql>mid) return query(s[k].ch[1],mid+1,r,ql,qr);
		else return query(s[k].ch[0],l,mid,ql,mid)+query(s[k].ch[1],mid+1,r,mid+1,qr);
	}
}
using segtree::rt;
using segtree::modify;
using segtree::build;
bool check(int x,int a,int b,int c){
	b=b-x+1;
	int L=1,R=rk[c]-1,mid,l=rk[c],r=rk[c];
	while(L<=R) (query((mid=L+R>>1)+1,rk[c])>=x)?l=mid,R=mid-1:L=mid+1;
	L=rk[c]+1,R=n;
	while(L<=R) (query(rk[c]+1,mid=L+R>>1)>=x)?r=mid,L=mid+1:R=mid-1;
//	printf("%d %d %d %d %d\n",c,x,l,r,segtree::query(rt[r],1,n,a,b)-segtree::query(rt[l-1],1,n,a,b));
	return segtree::query(rt[r],1,n,a,b)-segtree::query(rt[l-1],1,n,a,b);
}
int main(){
	scanf("%d%d%s",&n,&qu,s+1);
	getsa();getht();buildst();build(rt[0],1,n);
//	printf("%d\n",query(8,9));
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",sa[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) rt[i]=modify(rt[i-1],1,n,sa[i],1);
	while(qu--){
		int a,b,c,d;scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
		int l=0,r=min(b-a+1,d-c+1),mid,x=0;
		while(l<=r) check(mid=l+r>>1,a,b,c)?x=mid,l=mid+1:r=mid-1;
		printf("%d\n",x);
	}
	return 0;
}
/*
13 1
ababbabbbaaab
2 4 8 10
*/