NOIP 2014 普及组 T4 子矩阵

【题意】

已知：n,m,r,c,a[i][j]

（1 ≤ n ≤ 16, 1 ≤ m ≤ 16,1 ≤ a[i][j] ≤1000,1 ≤ r ≤ n, 1 ≤ c ≤ m）

条件：矩阵的分值定义为每一对相邻元素之差的绝对值之和

求：n*m的矩阵中找出r*c的子矩阵，使其分值最小

【构思】

对于一维的问题，就是只有一行，那么很好解决；

子矩阵，找r行，再找c列；

找r行，搜索，2^r；

然后对于列的处理，可以转化为一维的情况，发现也可以用DP；

所以时间复杂度为O(2^r*c*c)

【实现】

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <climits>

using namespace std;

const int N=17;

int n,m,r,c,p[N][N],v[N],f[N],res=INT_MAX,t[N],t1[N][N];

void init(void)

{

scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);

for (int i=1;i<=n;i++)

for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&p[i][j]);

}

int min(int i,int j)

{

return i<j?i:j;

}

int DP(void)

{

memset(t,0,sizeof t);

memset(t1,0,sizeof t1);

for (int i=1;i<=m;i++)

for (int j=1;j<v[0];j++) t[i]+=abs(p[v[j]][i]-p[v[j+1]][i]);

for (int i=1;i<m;i++)

for (int j=i+1;j<=m;j++)

for (int k=1;k<=v[0];k++) t1[i][j]+=abs(p[v[k]][i]-p[v[k]][j]);

for (int i=1;i<=m;i++) f[i]=t[i];

for (int i=2;i<=c;i++)

for (int j=m;j>=i;j--)

{

f[j]=INT_MAX;

for (int k=j-1;k>=i-1;k--) f[j]=min(f[j],f[k]+t1[k][j]);

f[j]+=t[j];

}

int ans=INT_MAX;

for (int i=c;i<=m;i++) ans=min(ans,f[i]);

return ans;

}

void DFS(int i,int dep)

{

if (dep==r)

{

res=min(res,DP());

return;

}

for (int j=i;j<=n-r+dep+1;j++)

{

v[++v[0]]=j;

DFS(j+1,dep+1);

v[v[0]--]=0;

}

}

void work(void)

{

DFS(1,0);

printf("%d\n",res);

}

int main(void)

{

init();

work();

return 0;

}

【回顾】

[1] 对于棋盘上的01选择问题，通常行用搜索，列用其他方法，降低时间复杂度

[2] 棋盘的问题，把二维转化为一维，这种思想可以延伸为特殊问题的普遍性，然后再把普遍性和特殊性建立一定的联系