NIM游戏/SG函数

NIM游戏

先看一下一维 NIM游戏。

有一堆大小为 $n$ 的石子，甲和乙轮流从石堆里面拿石子，不能一次拿掉所有石子，取走最后一个石子的人获胜，甲先开始，谁是必胜的？

显然，谁先手，谁就获胜。那么推广到二维呢？

有两堆大小为 $n$ $m$ 的石子，甲和乙轮流从两个石堆里拿石子，每次从一个石堆里拿石子，不能一次拿掉一堆中所有石子，取走最后一个石子的获胜，甲先开始拿，谁是必胜的？

当 $n=m$ 的时候，先手必输。因为先手从一堆中拿 $Y$ 颗，后手也可以从另外一个堆中拿 $Y$ 颗。循环下去，后手必胜。

而如果 $n != m$，先手就可以制造两堆相等的石子，使得后手必败。

引入点新概念。当两堆相等时，先手必败，我们将这种状态叫做必败态。记为 $P$。

当两堆不相等时，先手必胜，将这种状态叫做必胜态，记为 $N$。

那么，推广到多维，如何确定谁是必胜的呢？

由前两种NIM游戏可以知道，如果所有石堆大小都相等，那么先手是不能直接取得胜利的。这种状态称为平衡态。反之，可以进行一次操作就取得胜利的状态就是非平衡态。平衡态也就是必胜态，非平衡态也就是必败态。

考虑将所有石堆的大小异或起来，如果结果为 $0$，那么这就是一个平衡态。如果结果不为零，那就是非平衡态。

我们每拿一次石子，都可以将异或时某一位上的值由这位上的 $1$ 的奇偶性决定。因此我们拿石子时可以控制每一位上 $1$ 的奇偶性，也就因此能控制异或出的总结果了。同样的，对手每操作一次，由于必须拿至少一颗石头，就势必将会影响某一位上 $1$ 的数量，状态必然会改变。这就意味着我们在操作的时候，可以实现平衡态和非平衡态之间的转化。

如果一开始我们接手的是一个不平衡态，要取胜，就可以反复给对手构造一个平衡态，这是必胜的。

如果一开始接手的是一个平衡态，只要对手足够聪明，就可以让我们每次都拿到一个平衡态。这就是必败的。

SG函数

由刚才的论述可知，必胜态和必败态之间是可以相互转化的。必败态经过一次操作必然会转化为必胜态，必胜态经过一次操作可能是必胜态，也可能是必败态（想想异或的过程）。当一个状态已经转化为能够分出胜负的必败态时，称这个状态是0级必胜点，记作 $SG(x)=0$（$x$ 描述了当前的状态）。

如果某个状态最少操作一次就能变为0级必胜点，那么这个状态就是1级必胜点，以此类推，有2级，3级……必胜点。而SG函数就是用来描述每个状态到达终末态时所需要的最少的步骤，即描述每个状态是几级必胜点。定义为：

\[SG(x) = MEX\{SG(y)|x->y\}
\]

SG定理

两个同级必胜点（SG函数值相等）组成的游戏是必败的。因为先手如果降低其中一个必胜点的等级，后手可以降低另一个必胜点的相同数量的等级，使先手一直面对两个同级必胜点，最后面对两个1级必胜点，只能将其中一个必胜点变成必败点，这样先手必败。
两个不同级必胜点（SG函数值不同）组合成的的游戏是必胜的，因为先手可以将等级高的必胜点的等级降低到与另一个必胜点相同，这样后手面对的就是由两个同级必胜点构成局面，先手必胜。

对于一个游戏，可以将组成它的每一个游戏的SG函数值异或起来，为 $0$，则对于先手来说必败，反之对于先手就是必胜的。这就是 SG定理了！

例题：

Fibonacci again and again

三堆大小分别为 $n$，$m$，$p$ 的石子，每堆大小均不超过 $1000$，两个人拿，令 $x$ 为菲波那契数列中的一项，每个人每次只能从一堆里拿 $x$ 个石子，问谁是必胜的。

板题，主要想说说怎么记忆化搜索求SG函数值。

int sg[MAXN + 5],f[MAXN + 5];//f为菲波那契数列

int getsg(int num){

    if(num == 0)return sg[num] = 0;

	if(sg[num] != -1)return sg[num];

	bool vis[MAXN + 5];//表示从石子数为num可以转换到哪些状态

	for(int i = 1; i <= MAXN: i++){

		vis[num - f[i]] = 1;

		getsg(num - f[i]);

	}

	for(int i = 0; ; i++){

		if(!vis[i])return sg[num] = i;//找mex，求出是几级必胜点

	}

	return sg[num];

}

求出三个数的SG值后，看 $SG(n) ^ SG(m) ^ SG(p)$ 是否为 $0$ 即可得出答案。

A multiplication game

给定一个 $n$，令 $p = 1$，甲和乙可以每次将 $p$ 乘上一个属于 $[2,9]$ 的数，谁使 $p$ 大于 $n$ 谁就赢。求谁是必胜的。

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<map>

#define int long long

using namespace std;

const int MAXN = 1e5;

int n;

map<int,int> sg,vis;

int getsg(int x){

    if(x >= n)return sg[x] = 0;

    if(vis.find(x) != vis.end())return sg[x];

    vis[x] = 1;

    int s[10];//9的十次方已经大于n的最大值了，故sg函数的值最大为9

    memset(s,0,sizeof s);

    for(int i = 2; i <= 9; i++){

        s[getsg(x * i)] = 1;

    }

    for(int i = 0; i < 10; i++){

        if(!s[i])return sg[x] = i;

    }

    return sg[x];

}

signed main(){

    while(~scanf("%lld",&n)){

        sg.clear();

        vis.clear();

        getsg(1);

        if(sg[1])cout << "Stan wins.\n";

        else cout << "Ollie wins.\n";

    }

}

Cutting Game

两个人在一张大小为 $h * w$ 纸上面切，每个人每次可以横着切一刀，也可以竖着切一刀，谁切出了 $1 * 1$ 大小的纸，谁就获胜，问谁必胜。

注意到状态是二维的，即当前纸的长与宽。注意下SG函数的记录方法。

#include<iostream>

#include<cstring>

using namespace std;

const int MAXN = 1e3;

int sg[MAXN + 5][MAXN + 6],n,m;

int getsg(int x,int y){

    if(x < y)swap(x,y);

    if(sg[x][y] != -1)return sg[x][y];

    if(x == 1 && y == 1)return sg[x][y] = 1;

    bool vis[4001];

    memset(vis,0,sizeof vis);

    for(int i = 2; i <= x - 2; i++){//横着切

        vis[getsg(i,y) ^ getsg(x - i,y)] = 1;//每切一刀，就将当前纸分成了两张，也就是分成了两个子游戏，因此取异或的值

    }

    for(int i = 2; i <= y - 2; i++){//竖着切

        vis[getsg(x,i) ^ getsg(x,y - i)] = 1;

    }

    for(int i = 0; i <= 4000; i++){

        if(!vis[i])return sg[x][y] = i;

    }

    return sg[x][y];

}

int main(){

    memset(sg,-1,sizeof sg);

    for(int i = 2; i <= MAXN; i++){

        sg[1][i] = 0;

    }

    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){

        int ans = getsg(n,m);

        if(ans)cout << "WIN\n";

        else cout << "LOSE\n";;

    }

}