[xsy3343]程序锁
题意:有两个序列,序列中数字$\in\{-1,0,1\}$
有两个指针,初始时分别指向两个序列的开始位置,有一个初始为$0$的数$a$,重复以下过程直到两个指针都指向序列末尾后
如果一个指针指向末尾后,那么移动另一个指针
否则如果$a>0$,随机移动一个指针
否则如果至少一个指针指向$1$,随机移动一个指向$1$的指针
否则随机移动一个指针
每移动一个指针,就把这个指针指向的数加到$a$上
问有多少种填$0$为$\pm1$的方法使得任何时候都有$a\geq0$
首先是对填好的序列进行判定,在两个序列中分别找到以$-1$结尾的最小前缀和$s_a,s_b$(如果序列全为$1$就选择总和),如果两个序列都满足这个最小前缀和$\ne$总和,那么条件是$s_a+s_b\geq-1$(因为两个$-1$后面一定都紧跟着一个$1$,而后面的前缀和不会更小,所以可以满足),否则需要满足$s_a+s_b\geq0$(一个序列的指针已经到了末尾后,只能被强迫移动另一个指针)
现在要DP,正着DP很困难,考虑倒着DP,这样每次只会增加一个小前缀
设$f_{i,j,k}$表示填完$[i,n]$,这些位置相对于$i$的前缀和中,以$-1$结尾的最小前缀和$=j$的方案数,$k$表示$j$是否等于总和
如果$i-1$位可以填$1$,那么有$f_{i,j,0}\rightarrow f_{i-1,j+1,0},f_{i,j,1}\rightarrow f_{i-1,j+1,1}$,因为在最前面加一个$1$并不改变原来的最小前缀和
如果$i-1$位可以填$-1$,那么有$f_{i,j,0}\rightarrow f_{i-1,\min(-1,j-1),0},f_{i,j,1}\rightarrow f_{i-1,\min(-1,j-1),[j\le0]}$,因为增加了一个值为$-1$的前缀和,所以原来$j>0$且最小前缀和$=j$的方案会变为最小前缀和$=-1\ne j-1$
对两个序列分别DP后直接统计答案即可
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; typedef int pr[2]; const int mod=998244353; int mul(int a,int b){return(ll)a*b%mod;} void inc(int&a,int b){(a+=b)>=mod?a-=mod:0;} struct str{ char s[5010]; int n; pr _f[10010],_g[10010],*f=_f+5000,*g=_g+5000; void work(){ int i,j; scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1); f[0][1]=1; for(i=n;i>0;i--){ memset(_g,0,sizeof(_g)); for(j=-n;j<=n;j++){ if(s[i]!='P'){//+ inc(g[j+1][0],f[j][0]); inc(g[j+1][1],f[j][1]); } if(s[i]!='V'){//- inc(g[min(-1,j-1)][0],f[j][0]); inc(g[min(-1,j-1)][j<=0],f[j][1]); } } memcpy(_f,_g,sizeof(_g)); } } }a,b; int main(){ int i,j,s; a.work(); b.work(); s=0; for(i=-a.n;i<=a.n;i++){ for(j=-b.n;j<=b.n;j++){ if(i+j>=-1)inc(s,mul(a.f[i][0],b.f[j][0])); if(i+j>=0){ inc(s,mul(a.f[i][0],b.f[j][1])); inc(s,mul(a.f[i][1],b.f[j][0])); inc(s,mul(a.f[i][1],b.f[j][1])); } } } printf("%d",s); }
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