BZOJ 2330: [SCOI2011]糖果 [差分约束系统] 【学习笔记】
2330: [SCOI2011]糖果
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Description
幼儿园里有N个小朋友,lxhgww老师现在想要给这些小朋友们分配糖果,要求每个小朋友都要分到糖果。但是小朋友们也有嫉妒心,总是会提出一些要求,比如小明不希望小红分到的糖果比他的多,于是在分配糖果的时候,lxhgww需要满足小朋友们的K个要求。幼儿园的糖果总是有限的,lxhgww想知道他至少需要准备多少个糖果,才能使得每个小朋友都能够分到糖果,并且满足小朋友们所有的要求。
Input
输入的第一行是两个整数N,K。
接下来K行,表示这些点需要满足的关系,每行3个数字,X,A,B。
如果X=1, 表示第A个小朋友分到的糖果必须和第B个小朋友分到的糖果一样多;
如果X=2, 表示第A个小朋友分到的糖果必须少于第B个小朋友分到的糖果;
如果X=3, 表示第A个小朋友分到的糖果必须不少于第B个小朋友分到的糖果;
如果X=4, 表示第A个小朋友分到的糖果必须多于第B个小朋友分到的糖果;
如果X=5, 表示第A个小朋友分到的糖果必须不多于第B个小朋友分到的糖果;
Output
输出一行,表示lxhgww老师至少需要准备的糖果数,如果不能满足小朋友们的所有要求,就输出-1。
【数据范围】
对于30%的数据,保证 N<=100
对于100%的数据,保证 N<=100000
对于所有的数据,保证 K<=100000,1<=X<=5,1<=A, B<=N
Source
以下自己的理解
一组类似最短路中的三角不等式的线性规划问题,用最短路算法求解
a-b<=c ----> d[v]<=d[u]+c
目标函数 最短路啊你说目标函数是什么
然而我就这样做了之后,一直不过样例!
突然发现,他们都跑了最长路
原来:
差分约束系统中,求每个变量的最大值(这个最值是相对的,差分约束系统当其中一个变量的值确定其他的也会有确定的范围,比如d[s]确定)
就是用最短路 按照<=建图
求最小值的话就是最长路了,按>=建图
总结:
①:对于差分不等式,a - b <= c ,建一条 b 到 a 的权值为 c 的边,求的是最短路,得到的是最大值
②:对于不等式 a - b >= c ,建一条 b 到 a 的权值为 c 的边,求的是最长路,得到的是最小值
③:存在负环(正环)的话是无解
④:求不出最短路(dist[ ]没有得到更新)的话是任意解
这些式子没必要记,建图的时候想三角不等式行了
为什么最短路反而是最大值呢?
回忆算法导论504页把最短路转换成线性规划形式时,d[t]是最大化的,因为这个线性规划求的是满足那些不等式的最大的d[t],因为这个问题有实际意义 如果最小的话 d[t]取-INF就好了,显然这样是错误的
在网上看到另一个想法:“求最短路是由无穷向下约束而得到的,所以得到的一定是最大值”
还有一个实现上的问题:
有必要加一个超级源来避免不连通吗?
没有,记得算法导论上有个思考题吗。和负环一样,把所有点加入队列d[i]=0就可以了
对于本题来说,因为至少一个糖果,所以d[i]=1
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+,M=1e5+,INF=1e9;
inline int read(){
char c=getchar();int x=,f=;
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,x,a,b,s;
struct edge{
int v,ne;
double w;
}e[M<<];
int h[N],cnt=;
inline void ins(int u,int v,int w){
cnt++;
e[cnt].v=v;e[cnt].w=w;e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt;
}
int q[N],head,tail,inq[N],num[N],d[N];
inline void lop(int &x){if(x==N) x=;}
bool spfa(int s){
for(int i=;i<=n;i++) d[i]=-INF;
head=tail=;
memset(inq,,sizeof(inq));
memset(num,,sizeof(num));
for(int i=;i<=n;i++) q[tail++]=i,inq[i]=,d[i]=;
while(head!=tail){
int u=q[head++];inq[u]=;lop(head);
for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
int v=e[i].v,w=e[i].w;
if(d[v]<d[u]+w){
d[v]=d[u]+w;
if(!inq[v]){
inq[v]=,q[tail++]=v,lop(tail);
if(++num[v]>n) return true;
}
}
}
}
return false;
}
int main(){
n=read();m=read();s=;
for(int i=;i<=m;i++){
x=read();a=read();b=read(); if(x==) ins(a,b,),ins(b,a,);
else if(x==){if(a==b){puts("-1");return ;} ins(a,b,);}
else if(x==) ins(b,a,);
else if(x==){if(a==b){puts("-1");return ;} ins(b,a,);}
else ins(a,b,);
} if(spfa(s)) puts("-1");
else{
ll ans=;
for(int i=;i<=n;i++) ans+=d[i];
printf("%lld",ans);
} }
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