[bzoj5483][Usaco2018 Dec]Balance Beam_凸包_概率期望

bzoj5483 Usaco2018Dec Balance Beam

题目链接：https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5483

数据范围：略。

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题解：

首先有一个模型，就是长度为$L$的线段，$f_i$表示这个点每次有$\frac{1}{2}$的几率向左，$\frac{1}{2}$的几率向右。走到端点会掉下去的话，走到右端点的概率。

我们发现：$f_i=\frac{f_{i-1}+f_{i+1}}{2}$，是一个等差数列。

然后，$f_0 = 0, f_L=1$，所以$f_i=\frac{L-i}{L}$。

接着，我们对于每个点$i$，设置一个左侧停止点设置一个右侧停止点的话，就可以根据模型求出答案。

停止点，就是把点$(j,a_j)$放进平面的上凸包，然后$i$在凸包上对应的线段的两个端点即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

#define N 100010 

using namespace std;

typedef long long ll;

char *p1, *p2, buf[100000];

#define nc() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1 ++ )

int rd() {
	int x = 0;
	char c = nc();
	while (c < 48) {
		c = nc();
	}
	while (c > 47) {
		x = (((x << 2) + x) << 1) + (c ^ 48), c = nc();
	}
	return x;
}

ll a[N], st[N], l[N], r[N], top;

int main() {
	int n = rd();
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		a[i] = rd();
	}
	st[ ++ top] = 0, st[ ++ top] = 1;
	for (int i = 2; i <= n + 1; i ++ ) {
		// st[top - 1], st[top], i
		// \frac{a[st[top]] - a[st[top - 1]]}{st[top] - st[top - 1]} < \frac{a[i] - a[st[top]]}{i - st[top]}
		// \Rightleftarrow (a[st[top]] - a[st[top - 1]]) * (i - st[top]) < (a[i] - a[st[top]]) * (st[top] - st[top - 1])
		while (top >= 2 && (ll)(a[st[top]] - a[st[top - 1]]) * (i - st[top]) < (ll)(a[i] - a[st[top]]) * (st[top] - st[top - 1])) {
			top -- ;
		}
		st[ ++ top] = i;
	}
	for (int i = 1; i < top; i ++ ) {
		for (int j = st[i] + 1; j < st[i + 1]; j ++ ) {
			l[j] = st[i], r[j] = st[i + 1];
		}
		l[st[i]] = st[i], r[st[i]] = st[i];
	}

	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		ll ans = 0;
		if (l[i] == r[i]) {
			ans = (ll)a[i] * 100000;
		}
		else {
			ans = (100000 * ((ll)a[l[i]] * (r[i] - i) + (ll)a[r[i]] * (i - l[i]))) / (r[i] - l[i]);
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}