Codeforces Round #441 (Div. 2)

A. Trip For Meal

题目描述：给出$3$个点，以及任意两个点之间的距离，求从$1$个点出发，再走$n-1$个点的最短路径。

solution
当$n=1$时，答案为$0$，当$n=2$时，答案等于与开始点相连的两条边的最小值，当$n>2$时，答案等于与开始点相连的两条边的最小值+三条边最小值*$(n-2)$
时间复杂度：$O(1)$

B. Divisiblity of Differences

题目描述：给出$n$个数，从中选出$k$个数，使得任意两个选出的数的差是$m$的倍数。输出其中一种方案。

solution
两个数的差是$m$的倍数，说明这两个数对$m$取余相等。所以可以统计对$m$取余每种余数有多少个，如果某一种余数超过或等于$k$个，则随意选择$k$个该种余数的数即是答案。
时间复杂度：$O(n)$

C. Classroom Watch

题目描述：给出一个数$n$，求有哪些正整数$x$，满足$x$的每一位的数的和加$x$等于$n$。

solution
因为$n \leq 10^9$，所以$x$的每一位的数的和最大是$90$，由于加法只能产生百位加一的效果，所以$x$的最高位到百位与$n$相同，或是$x$的百位比$n$少一。按此分成两种情况，然后枚举十位和个位即可。
时间复杂度：$O(200)$

D. Sorting the Coins

题目描述：一行$n$个'o'，然后依次将第$p[i]$位的'o'变成'x'，每次改变后进行以下操作：从左看到右，如果遇到第$i$位为'o'，$i+1$位为'x'，则交换这两位，然后从第$i+1$位继续往右看。如果某一轮看完后没有进行交换操作，则结束，输出看了多少轮，然后进行下一次的改变。

solution
手工画了样例后发现，除了最右边的连续的'x'不用动之外，其它'x'都要通过看一轮使它成为最右边连续的'x'，所以只要维护最右边有多少个连续的'x'即可。
时间复杂度：$O(n)$

E. National Property

题目描述：给出$n$个字符串，字符串的每一位都是一个数字，数字有大小写之分，任意大写数字比任意小写数字小，同种数字比较时，数字小的比较小。现在把某种数字从小写变成大写，使得这$n$个字符串从小到大排好序，输出一种可行的方案。

solution
考虑相邻两个字符串，只要所有的相邻字符串都满足前者小于后者，则这$n$个数就已经从小到大排好。相邻字符串比较：从左到右找到第一个不同的位置：
1、如果前者为数字，后者为空，则无解；
2、如果前者为空，后者为数字，则不用任何操作；
3、如果前者数字大于后者数字，则前者数字一定要变为大写；
4、如果前者数字小于后者数字，则这两种数字要同为大写或小写。
根据最后一种情况，我们可以从后者数字连一条有向边到前者数字，表示如果某个点变为大写(true)，则连出去的边指向的点都要为true，这就有点像2-SAT，但不同的是2-SAT可能有环，需要缩点，而这题一定不会有环。构图后按照2-SAT构造解的方式构造答案即可。
时间复杂度：$O(n)$

F. High Cry

题目描述：给出一个数组$a[i]$，求数对$(x, y)$的个数，$(x, y)$满足$(a[x] | a[x+1] | ... | a[y])>max${$a[x], a[x+1], ..., a[y]$}

solution
从表达式可知，最大值是一个重要的值。所以可以枚举一个位置$i$作为数对$(x, y)$之间的最大值，那么先可以预处理出$i$左边离$i$最近的大于$a[i]$的位置$L[i]$，以及$i$右边离$i$最近的大于$a[i]$的位置$R[i]$，因为$x$一定在$(L[i], i]$中选，$y$一定在$[i, R[i])$中选。
那$x，y$可以选什么位置呢？因为最后或操作后的数要大于$a[i]$，所以只要$[x, y]$中存在一个数与$a[i]$或操作后大于$a[i]$即可，即存在一个数,$a[i]$的二进制第$w$位为$0$,但它的第$w$位为$1$。所以我们可以预处理出$i$的左边离$i$最近的二进制第$j$位为$1$的位置$Lone[i][j]$，以及$i$的右边离$i$最近的二进制第$j$位为$1$的位置$Rone[i][j]$。
这样$x$的可选范围是$(L[i], max${$Lone[i][j]$}$]$, $y$的可选范围是$[min${$Rone[i][j]$}$, R[i])$，而求答案时只要$x,y$有一个在可选范围内就是正确答案。
要注意的是$a[i]$相等的情况，可以规定$a[L[i]] \geq a[i], a[R[i]]>a[i]$，这样就能避免重复计算。
时间复杂度：$O(nlogn)$