Noip前的大抱佛脚----根号对数算法
根号算法
分块
数列分块入门九题(hzwer)
- 入门题1,2,3,4,5,7
问题:给一段区间打上标记后单点查询
解法:主要是每块维护一些标记,计算答案等,此类分块较为简单
注意:块大小一般为\(\sqrt n\)
复杂度:\(O(n\sqrt n)\)
- 入门题6
问题:每次朝数列中间插入一个元素,查询第k个元素是什么
解法:块大小超过一定值后暴力重构!采用链表实现
复杂度:\(O(n\sqrt n)\)
- 入门题8
问题:每次询问一个区间内为\(c\)的元素个数,并把整个区间改为\(c\)
解法:维护一个区间覆盖标记,如果块内没有标记就暴力修改
注意:复杂度分析要用到FlashHu的势能分析
势能(potential energy)是储存于一个系统内的能量,也可以释放或者转化为其他形式的能量。
把一个块搅乱,相当于给其增加\(O(\sqrt n)\)的势能,表示其再次被打上全局tag所需要的代价
每次操作最多把两个块搅乱,所以每次操作最多增加\(O(2\sqrt n)\)的势能,同时整理好一个块需要的代价是其势能,并能把其势能降为\(O(1)\)
这样子最多搅乱\(n\)个块,增加\(O(2n\sqrt n)\)的势能,最多把他们所有的势能都变成\(1\),复杂度为\(O(4n\sqrt n)=O(n\sqrt n)\)
理解:增加势能需要相应代价,减少势能也需要相应代价,对应分析其最大势能即可得出复杂度
拓展:分析每次可以从栈中弹出多个元素的复杂度(还是\(O(n)\),其总势能最大为\(O(n)\))
- 入门题9
问题:在线维护区间最小众数
解法:离线就可以用莫队搞了
考虑分块,分块是一个很好的算法,维护每个数在数列中的前缀和是\(O(n^2)\)的时空复杂度,但是给分个块就可以做到\(O(n\sqrt n)\)了
一段区间的众数一定属于:A.零散块内的数 B.整块内的众数,一共数量不超过\(\sqrt n\)个
所以维护两个数组:\(f[i][j]\)表示从第\(i\)块到第\(j\)块的众数,这个可以\(O(\sqrt n\sqrt n\sqrt n)\)的预处理出来;\(g[i][j]\)表示离散化后的数字\(i\)在前\(j\)块中出现的次数,这个可以\(O(n)\)赋值后\(O(n\sqrt n)\)统计前缀和而得到
之后便只需要:A.统计每个数在整块内的出现个数\(O(1×\sqrt n)\) B.统计零散块中的数\(O(\sqrt n)\)
综上,复杂度为\(O(n\sqrt n)\),完美通过此题/蒲公英
分块出过什么题
维护序列哈,支持一些在线的区间询问
区间tag单点查询、区间查询等等老掉牙的套路(但是考场上遇到维护序列的题这也是一种思想方式)
询问位置\(\%p=k\)的数的权值和,要求支持单点修改,\(val\le 1W,n\le 15W\)(哈希冲突)
对于\(p\le\sqrt n\),维护\(s[p][k]\)表示答案,这个可以\(O(n\sqrt n)\)扫一遍得到答案
对于\(p>\sqrt n\),可以开\(s[i][1k]\)表示第i块的桶,统计前缀和,然后暴力对\(\sqrt n\)的桶扫一遍
综上,复杂度为\(O(n\sqrt n)\)
- 求区间逆序对数,不修改,\(n\le 5W\)(Gty的妹子序列)
先预处理好\(s[i][j]\)表示从第\(i\)块的开头到\(j\)位置这一段区间产生的逆序对数,\(O(n\sqrt n logn)\)
然后查询时剩下的左半截用主席树暴力查询,\(O(n\sqrt nlogn)\)
- 单点修改,求最短前缀使得前缀\(gcd\)与前缀\(xor\)的乘积恰好为\(x\),\(n\le 10W\)(公约数数列)
有一个奇妙的性质:一个数集的\(gcd\)在加入一个数后要么不变,要么至少\(/2\)。
对每一块维护一个gcd和、异或前缀和、Map(维护异或前缀和为x的位置)
然后修改就暴力重构该块\(O(n\sqrt nlogn)\)
查询就依次扫每一个块,如果这个块没有使得gcd减小,那么这个块内每一个位置的前缀gcd都相同,在Map中查找是否有符合条件的异或和即可;如果gcd减小了就暴力一个一个找,由于上面的性质暴力扫的块不会超过\(logn\)个。
总复杂度为\(O(n\sqrt nlogn)\)
- 无修改询问区间内数值\(\%p=k\)的元素个数,\(n\le 15W\)(考试9.20T3)
若\(p\le\sqrt n\),对每块维护\(s[i][p][k]\)表示答案,然后边角暴力统计,\(O(n\sqrt n)\)
若\(p>\sqrt n\) ,对每块维护\(s[i][j]\)表示桶,然后做一个前缀和暴力查询,\(O(n\sqrt n)\)
简直傻逼我做不出真是太菜了
莫队
树莫队
有两种方法,一种是把树划分成若干块,然后暴力去移动其中一个端点;另一种是把树的欧拉序抠出来(像括号序列,每个点出现两次),转化为序列问题后再用序列莫队的方法。我学习的是拓展性更强的后者。两者都要用\(vis[i]\)表示i这个点选了没选,每次\(update\)就把\(vis[x]^=1\)
序列莫队
无修
对序列位置分块,每块大小为\(\sqrt n\),将询问离线,按照左端点所在块为第一关键字,右端点为第二关键字排序,每次暴力移动转移,复杂度\(O(n\sqrt n)\)
带修
块大小为\(n^{\frac{2}{3}}\),按照左端点所在块为第一关键字,右端点所在块为第二关键字,操作时间为第三关键字排序(所有排序都是从小到大),复杂度\(O(n^{\frac{5}{3}})\)
分治
序列分治
一般适用于:一组询问,对象是所有子区间的问题
把区间分治成为跨过中点的区间和左右分治
点分治
树上路径抠成序列后DP(有结合律),可以采用点分治实现(牛客Wannafly24C网址)
实现方式:把询问挂链,分治的时候,把分治区域的\(rt\)都设置为分治中心,同时给不同子树标个不同的\(Tag\)(同一子树相同)。每到一个结点便扫一遍询问,当询问的另一个点也在同样的分治区域,并且\(Tag\)不同,便计算贡献。
这样能够保证不重不漏地计算所有的贡献,复杂度为\(O(nlogn*DP)\),为点分治×DP的复杂度(询问只会被扫log次)
倍增
并查集倍增
[SCOI2016]萌萌哒 对区间的每个点一一对应连并查集
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