[问题2014S08] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第八教学周）

[问题2014S08]  设分块上三角阵 \[A=\begin{bmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},\] 其中 \(m\) 阶方阵 \(A_1\) 的 Jordan 标准型为 \(J_1\), \(n\) 阶方阵 \(A_2\) 的 Jordan 标准型为 \(J_2\), 并且 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值. 证明: 矩阵 \(A\) 的 Jordan 标准型就是 \[\begin{bmatrix} J_1 & 0 \\ 0 & J_2 \end{bmatrix}.\]

注  (1) 本题是复旦高代教材第 293 页复习题 15 的推广, 在那道题目中, \(A_1,A_2\) 的 Jordan 标准型 \(J_1,J_2\) 都只由一个 Jordan 块构成, 这里我们取消了这个限制.

(2) 由本题还可以得到如下推论: 如果 \(A_1,A_2\) 都可以对角化, 并且 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值, 那么矩阵 \(A\) 也可以对角化. 这个推论是复旦高代教材第 249 页复习题 7 的推广.

(3) 在本题中, \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值是最本质的条件. 有了这个条件, 不管 \(B\) 是怎样的矩阵, 都对 \(A\) 的 Jordan 标准型不产生任何影响; 但如果没有这个条件, 一般情况下结论并不成立. 比如我们看如下例子: 设 \(A_1=A_2=(1)\), \(B=(1)\), 则 \(A\) 的 Jordan 标准型不是 \(I_2\), 而是 \(J_2(1)\).