P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏（二分图，网络流）

传送门

这推导过程真的有点可怕的说……完全想不出来……

最终状态是$(1,1),(2,2),(3,3)...(n,n)$都有一个黑点

我们可以理解为每一个行和列都形成了一个匹配

换句话说，只要$n$行和$n$列都能形成匹配那说明就有解否则无解

所以$s$向每行代表的点连边，每列代表的点向$t$连边

如果某行某列有$1$，那么这行向这列连边

考虑一下交换行，就是交换$s$向两行的连边，交换列同理

所以只要在最初的二分图上跑匹配，匹配数等于$n$就有解

ps：不是很明白的话可以想一下魔方，你可以让一个位置交换到任意的另一个位置

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 const int N=,M=;
 int ver[M],Next[M],head[N],edge[M],tot=;
 int cur[N],dep[N],n,s,t;
 queue<int> q;
 inline void add(int u,int v,int e){
     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=;
 }
 bool bfs(){
     memset(dep,-,sizeof(dep));
     for(int i=s;i<=t;++i) cur[i]=head[i];
     while(!q.empty()) q.pop();
     q.push(s),dep[s]=;
     while(!q.empty()){
         int u=q.front();q.pop();
         for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
             int v=ver[i];
             if(dep[v]<&&edge[i]){
                 dep[v]=dep[u]+,q.push(v);
                 if(v==t) return true;
             }
         }
     }
     return false;
 }
 int dfs(int u,int limit){
     if(!limit||u==t) return limit;
     int flow=,f;
     for(int i=cur[u];i;i=Next[i]){
         int v=ver[i];cur[u]=i;
         if(dep[v]==dep[u]+&&(f=dfs(v,min(limit,edge[i])))){
             flow+=f,limit-=f;
             edge[i]-=f,edge[i^]+=f;
             if(!limit) break;
         }
     }
     return flow;
 }
 int dinic(){
     int flow=;
     while(bfs()) flow+=dfs(s,inf);
     return flow;
 }
 int main(){
     int T=read();
     while(T--){
         int n=read();
         s=,t=*n+,tot=;
         memset(head,,sizeof(head));
         for(int i=;i<=n;++i) add(s,i,),add(i+n,t,);
         for(int i=;i<=n;++i)
         for(int j=;j<=n;++j){
             int u=read();
             if(u) add(i,j+n,);
         }
         puts(dinic()==n?"Yes":"No");
     }
     return ;
 }