poj3358 Period of an Infinite Binary Expansion 数论有难度

这道题目感觉好难，根本就是无从下手的感觉，尝试了以前的所有方法，都没有思路，毫无进展，参考了一下别人的思路，感觉学到了新的知识

接下来开始分析

观察1/10这组数据，按照二进制转化法可以得到： 1/10 2/104/108/1016/1032/10.……

对于每一个分子进行模10处理 可以相应的得到：    1/102/104/108/106/102/10……

出现了重复，这个重复就是要求的最小循环

对于p/q,首先p'=p/gcd(p,q),q'=q-gcd(p,q),然后求p'*2^i ≡ p'*2^j  (mod q'),然后开始变换，p'*2^i*(2^(j-i)-1) ≡ 0 (mod q'),也就是说 q'|p'*2^i*(2^(j-i)-1),因为 gcd(p',q')=1所以q'|2^i*(2^(j-i)-1)

因为2^(j-i)-1肯定为奇数，所以q'有多少个2的幂，i就是多少，而且i就是循环开始前的第一位数字，令q''为q'除去2的幂之后的数，此时q''|2(j-i)-1，实际上就是 求 某个x  使得  2^x ≡ 1(mod q'')；因为q''与2是互诉的，所以肯定有解，令 n=q'',   2^φ(n) ≡ 1 (mod n ),由于题目要求的是 最小的x，看似 φ(n) 是最终解，所以不妨 像poj3696那样大胆假设 x其实是 φ(n)的一个因子，推导符合题目要求，再反过来假设x不是φ(n)的因子，  令r=φ(n)，mod x,r大于0，同时r<x,注意 2^φ(n)  ≡  1(mod n),且  2^x≡  1(mod n)，所以2^r %n=1,那么就存在一个比x更小的正整数 是的 2^r ≡ 1(mod n),所以  第二个假设失败，所以 x为 φ(n)的因子， 不断的寻找φ(n)的因子 然后判断是否符合题目要求即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<list>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<memory.h>
#include<set>

#define ll long long

#define eps 1e-8

#define inf 0xfffffff
const ll INF = 1ll<<61;

using namespace std;

//vector<pair<int,int> > G;
//typedef pair<int,int > P;
//vector<pair<int,int> > ::iterator iter;
//
//map<ll,int >mp;
//map<ll,int >::iterator p;
//

int a,b,r[112];

int Gcd(int a,int b)
{
	return b==0?a:Gcd(b,a%b);
}

void detal(int x,int m)
{
	r[0]=x%m;
	for(int i=1;i<32;i++)
		r[i]=(ll)r[i-1]*r[i-1]%m;
}

int quick(int x,int y,int m)
{
	int i=0,ans,j;
	int d[50];
	while(y)
	{
		d[i++]=y%2;
		y>>=1;
	}
	for(j=0,ans=1;j<i;++j)
		if(d[j])
			ans=(ll)ans*r[j]%m;
	return ans;
}

int main()
{
	int Case=0;
	char s[102];
	while(~scanf("%s",s))
	{
		a=0,b=0;
		bool flag=false;

		for(int i=0;i<strlen(s);i++)
		{
			if(s[i] != '/' && !flag)
				a=a*10+s[i]-'0';
			else
				flag=true;
			if(flag && s[i] != '/')
				b=b*10+s[i]-'0';
		}

		if(a == 0)
		{
			printf("Case #%d: %d,%d\n",++Case,1,1);
			continue;
		}
		int gcd=Gcd(a,b);
		b/=gcd;
		int x=0;
		while(!(b&1))
		{
			b>>=1;
			x++;
		}
		x++;
		int c[112][2],k=0,a=b,ans=b;
		for(int i=2;i*i<=a;i++)
		{
			if(a%i == 0)
			{
				ans-=ans/i;
				a/=i;
				while(a%i == 0)
					a/=i;
			}
		}
		if(a > 1)
			ans-=ans/a;;
		a=ans;
		for(int i=2;i*i<=a;i++)
		{
			if(a%i == 0)
			{
				c[k][0]=i;
				c[k][1]=0;
				c[k][1]++;
				while(a%i == 0)
				{
					c[k][1]++;
					a/=i;
				}
				k++;
			}
		}
		if(a > 1)
		{
			c[k][0]=a;
			c[k][1]=1;
			k++;
		}
		detal(2,b);
		for(int i=0;i<k;i++)
		{
			for(int j=0;j<c[i][1];j++)
			{
				if(quick(2,ans/c[i][0],b) != 1)
					break;
				ans/=c[i][0];
			}
		}
		printf("Case #%d: %d,%d\n",++Case,x,ans);
	}
	return EXIT_SUCCESS;
}