[SDOI2012]Longge的问题

题目大意：

网址：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2303
大意：给定一个N，求\(\Sigma_{i=1}^N gcd(i, N);\)。

题目解法：

首先\(gcd(i,N)\)肯定为\(N\)的一个因子，也就是说\(gcd(i,N)\)的取值其实不多。
那么对于每一个结果分开考虑：
\(N\)唯一分解后：\(N = a_1^{k_1} \times a_2^{k_2} \times a_3^{k_3} ...\)
那么考虑一下当 \(gcd(T,N) = a\) 的时候：有\(T = R \times a\)，并且\(gcd(\frac{N}{a},R) == 1\)
那么满足条件的\(R\)的个数为\(Φ(\frac{N}{a})\)个。(欧拉函数\(phi\)的定义)。
所以当 \(gcd(i,N)=a\) 时，总贡献为 \(a\timesΦ(\frac{N}{a})\)
所以我们的答案\(Ans = \Sigma_{i=1}^N([ d|N ]\times d\times Φ(\frac{N}{d}));\)
分析一下复杂度：枚举因子是\(O(\sqrt{N})\)的,求解因子的\(phi\)也是\(O(\sqrt{N})\)的。
所以理论时间复杂度为\(O(N)\)，但是非常的不满(因子肯定没有\(\sqrt{N}\)个)。空间复杂度为\(O(1)\)。

具体实现代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define gi(x) scanf("%lld",&x)
using namespace std;

ll n,m,phi,Ans;
ll Eule(ll x){
    phi = x;
    for(ll e = 2;e <= sqrt(x); e ++){
        if(x%e)continue;
        while(!(x%e))x = x/e;
        phi = phi/e*(e-1);
    }
    if(x != 1)phi = phi/x*(x-1);
    return phi;
}

int main(){
    gi(n); m = sqrt(n);
    for(ll i = 1; i*i < n; i ++)
        if(!(n%i))Ans += i*Eule(n/i) + (n/i)*Eule(i);
    if(m*m==n)Ans += m*Eule(m);
    cout<<Ans;  return 0;
}