学习RMQ-ST表

RMQ一般是一个二维数组，用$dp[i][j]$表示起点为i开始连续数$2^j$个元素其中的最值，由于对于一个闭区间有：$R-L+1=len$因此也可以用另外一种记法：闭区间为$[i,i+2^j-1]$内的最值。个人感觉后者可能更有助于代码的理解和手写。

然后就是预处理的步骤，显然元数组可以用来初始化$dp[i][0]$，然后剩下的用循环来处理，此时也许不知道具体代码怎么写，但是一定可以想到如果我知道了一个区间的左边半个dp和右边半个dp，那么这个区间的dp就知道了，因此我们要一层一层地增加这个“半个”的长度，所以循环顺序是j在外i在内，不理解的话自己写一下手推 的过程就知道了。

以前感觉RMQ不好用因为对于区间的边界处理完全不懂，如果数组下标从0开始我估计就不会了，现在可以用上面的话来得到dp方程：$dp[i][j]=max(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1])$，即闭区间$[i,i+2^j-1]$被分为左半部分$[i, i+2^{j-1}-1]$与右半部分$[i+2^{j-1}, i+2^j-1]$。

区间预处理结束后还有个区间最值查询，先用区间得到最接近的但不超过实际长度的$2^k$长度，然后在$[l, l+2^k-1]$与$[r-2^k+1, r]$取最值，自己试着推一下就可以发现这样既不会超出区间长度又不会不能覆盖区间。

RMQ的预处理复杂度是$O(nlog_{2}n)$，查询的复杂度是$O(1)$，在不修改的情况下比线段树好用很多，而且配合一些算法原本线段树会T的RMQ就可以过

下面给出我自己总结的RMQ-ST模版以区间最大值为例，感觉在理解区间边界的情况下很容易写出来，挺好用的

void RMQ_init(int l, int r)
{
    int i, j;
    for (i = l; i <= r; ++i)
        dp[i][0] = cow[i];
    for (j = 1; l + (1 << j) - 1 <= r; ++j)
    {
        for (i = l; i + (1 << j) - 1 <= r; ++i)
        {
            dp[i][j] = max<int>(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}
int ST(int l, int r)
{
    int k = log2(r - l + 1);
    return max<int>(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
}