柏林噪声算法(Perlin Noise)

概述

引述维基百科的介绍：

Perlin噪声（Perlin noise，又称为柏林噪声）指由Ken Perlin发明的自然噪声生成算法，具有在函数上的连续性，并可在多次调用时给出一致的数值。 在电子游戏领域中可以透过使用Perlin噪声生成具连续性的地形；或是在艺术领域中使用Perlin噪声生成图样。

维基百科的介绍相当的官方，其实可以理解为一个随机函数，不过有以下两个特点：

• 连续的输入得到的输出更加平滑（对连续的输入有一定权重采样）
• 相同的输入必定得到相同的输出（有的随机函数有状态（时间种子），这里更像是Hash函数）

它适用于希望给定连续的输入，能够给出相对连续的随机输出。（例如，模拟自然地形生成：想象地形不能前一步是高山，脚下是深谷，后一步又是高山这种连续剧烈的变化）

随机函数噪声：

柏林噪声：

原理

对于有经验的同学来说，一提到“平滑”，直觉上就会想到插值、平滑函数等。没错，柏林噪声其实就是使用插值、平滑函数，有时会在此基础上使用倍频，波形叠加（傅里叶变换）等方法对波形调整。

先把复杂问题简单化，考虑一个一维的柏林噪声生成：

上面提到了插值，插值首先要有值：静态生成一组随机数，在一个坐标系中每单位距离散落一个随机数。不妨令：rands是这个随机数数组，上图中y1 = rands[0], y2 = rands[1], ...，x2 - x1 = delta_x = 上述的单位距离，建立一个坐标系。

对于散落在[0, rands.Len - 1]区间的某个值n来说（[rands.Len-1, rands.Len]区间对应的x的点规定不能取到，因为下面计算会推到rands[n + 1]）,假设n对应上图P点则有：

Noise(P) = Y1 + (Y2 - Y1) * F((xp - x1)/(delta_x))

理解下这个公式：

• Y1指红色的那个函数表达式（N），Y2指黄色的(N + 1)
• Noise(P)类型插值函数: Lerp = yn + (yn+1 - yn) * t, t 取值 [0, 1]，在这里:
  • yn = Y1
  • yn+1 = Y2
  • t = F((xp - x1)/(delta_x))

这里的F是指平滑函数，上述（t）可知F在[0,1]的输出也必须在[0,1]区间内，通常F(x) = 6 * x^5 - 15 * x^4 - 10 * x^3，顾名思义就是对输入进行平滑，函数图像如下：

带入数据来算：

Noise(p) = Y1(xp) + (Y2(xp) - Y1(xp)) * F((xp - x1)/(delta_x))

就不展开了

再来思考下它的实现原理：

• 随机：对于Noise(p)来说它的值取决于y1和y2两个随机数
• 平滑: Noise(p)取值是通过前后插值得到的，其插值参数t也经过平滑处理

其思路可以拓展到2维、3维，以2维举例：



p落在abcd组成的2维网格中，其实可以视为3次1维的计算：分别计算pab、pcd所在1维直线（ab、cd）的结果，在此基础上计算pad、pcd所在的线上p点的结果。这个计算会在下面的代码实现中更加具象化体现出来。（注意有一点计算是不一样的，一维中y = kx + b计算两个点之间的影响在2维空间不适用，点会受到2个维度的影响，具体看下面实现中的示例）

经典实现

static int p[512] = {
    151,160,137,91,90,15,
    131,13,201,95,96,53,194,233,7,225,140,36,103,30,69,142,8,99,37,240,21,10,23,
    190, 6,148,247,120,234,75,0,26,197,62,94,252,219,203,117,35,11,32,57,177,33,
    88,237,149,56,87,174,20,125,136,171,168, 68,175,74,165,71,134,139,48,27,166,
    77,146,158,231,83,111,229,122,60,211,133,230,220,105,92,41,55,46,245,40,244,
    102,143,54, 65,25,63,161, 1,216,80,73,209,76,132,187,208, 89,18,169,200,196,
    135,130,116,188,159,86,164,100,109,198,173,186, 3,64,52,217,226,250,124,123,
    5,202,38,147,118,126,255,82,85,212,207,206,59,227,47,16,58,17,182,189,28,42,
    223,183,170,213,119,248,152, 2,44,154,163, 70,221,153,101,155,167, 43,172,9,
    129,22,39,253, 19,98,108,110,79,113,224,232,178,185, 112,104,218,246,97,228,
    251,34,242,193,238,210,144,12,191,179,162,241, 81,51,145,235,249,14,239,107,
    49,192,214, 31,181,199,106,157,184, 84,204,176,115,121,50,45,127, 4,150,254,
    138,236,205,93,222,114,67,29,24,72,243,141,128,195,78,66,215,61,156,180,

    151,160,137,91,90,15,
    131,13,201,95,96,53,194,233,7,225,140,36,103,30,69,142,8,99,37,240,21,10,23,
    190, 6,148,247,120,234,75,0,26,197,62,94,252,219,203,117,35,11,32,57,177,33,
    88,237,149,56,87,174,20,125,136,171,168, 68,175,74,165,71,134,139,48,27,166,
    77,146,158,231,83,111,229,122,60,211,133,230,220,105,92,41,55,46,245,40,244,
    102,143,54, 65,25,63,161, 1,216,80,73,209,76,132,187,208, 89,18,169,200,196,
    135,130,116,188,159,86,164,100,109,198,173,186, 3,64,52,217,226,250,124,123,
    5,202,38,147,118,126,255,82,85,212,207,206,59,227,47,16,58,17,182,189,28,42,
    223,183,170,213,119,248,152, 2,44,154,163, 70,221,153,101,155,167, 43,172,9,
    129,22,39,253, 19,98,108,110,79,113,224,232,178,185, 112,104,218,246,97,228,
    251,34,242,193,238,210,144,12,191,179,162,241, 81,51,145,235,249,14,239,107,
    49,192,214, 31,181,199,106,157,184, 84,204,176,115,121,50,45,127, 4,150,254,
    138,236,205,93,222,114,67,29,24,72,243,141,128,195,78,66,215,61,156,180
};

static float3 grads[12] = {
    {1,1,0},
    {-1,1,0},
    {1,-1,0},
    {-1,-1,0},

    {1,0,1},
    {-1,0,1},
    {1,0,-1},
    {-1,0,-1},

    {0,1,1},
    {0,-1,1},
    {0,1,-1},
    {0,-1,-1}
};

float grad(int hash, float x, float y, float z)
{
    float3 v3 = float3(x,y,z);
    hash = hash & 0xb;
    return dot(grads[hash],v3);
}

int inc(int num) {
    num++;
    return num;
}

float fade(float t) {
    return t * t * t * (t * (t * 6 - 15) + 10);
}

float perlin(float x,float y,float z)
{
    int xi = (int)x & 255;
    int yi = (int)y & 255;
    int zi = (int)z & 255;

    float xf = x - xi;
    float yf = y - yi;
    float zf = z - zi;

    float u = fade(xf);
    float v = fade(yf);
    float w = fade(zf);

    int aaa, aba, aab, abb, baa, bba, bab, bbb;
    aaa = p[p[p[    xi ]+    yi ]+    zi ];
    aba = p[p[p[    xi ]+inc(yi)]+    zi ];
    aab = p[p[p[    xi ]+    yi ]+inc(zi)];
    abb = p[p[p[    xi ]+inc(yi)]+inc(zi)];
    baa = p[p[p[inc(xi)]+    yi ]+    zi ];
    bba = p[p[p[inc(xi)]+inc(yi)]+    zi ];
    bab = p[p[p[inc(xi)]+    yi ]+inc(zi)];
    bbb = p[p[p[inc(xi)]+inc(yi)]+inc(zi)];

    float x1, x2, y1, y2;
    x1 = lerp(    grad (aaa, xf  , yf  , zf),
        grad (baa, xf-1, yf  , zf),
        u);
    x2 = lerp(    grad (aba, xf  , yf-1, zf),
    grad (bba, xf-1, yf-1, zf),
        u);
    y1 = lerp(x1, x2, v);

    x1 = lerp(    grad (aab, xf  , yf  , zf-1),
        grad (bab, xf-1, yf  , zf-1),
        u);
    x2 = lerp(    grad (abb, xf  , yf-1, zf-1),
        grad (bbb, xf-1, yf-1, zf-1),
        u);
    y2 = lerp (x1, x2, v);

    return lerp (y1, y2, w);
}

这段代码是3维的perlin函数，控制参数也可以实现1维、2维计算，从perlin函数看起：

• 静态的p[512]数组散落随机数数组每256个分为一块，共两块（为了方便计算）。aaa = p[p[p[ xi ]+ yi ]+ zi ] 类似的其实就是进行一次哈希计算，打乱顺序结果尽可能随机，类似于一维中的每隔单位距离散落随机数。
• grads数组和grad函数就是确定这个p点分别受这8个顶点影响的程度，在计算上体现就是进行内积（投影），注意这里的类比于一维的计算是有差别的：这里提到所谓的“梯度”，在一维计算里梯度就是指y = kx + 1中的k也就是斜率，而在三维空间中，梯度受3个维度的影响，在这里进行了简化从预设的12个向量中选取（至于为什么见参考链接：柏林噪声作者论文）。
• 接着就是进行lerp插值，对各个顶点方向上的计算结果进行平滑。

一个其他非典型实现示例

float rand(float2 p){
    return frac(sin(dot(p ,float2(12.9898,78.233))) * 43758.5453);
}

float noise(float2 x)
{
    float2 i = floor(x);
    float2 f = frac(x);

    float a = rand(i);
    float b = rand(i + float2(1.0, 0.0));
    float c = rand(i + float2(0.0, 1.0));
    float d = rand(i + float2(1.0, 1.0));
    float2 u = f * f * f * (f * (f * 6 - 15) + 10);

    float x1 = lerp(a,b,u.x);
    float x2 = lerp(c,d,u.x);
    return lerp(x1,x2,u.y);
}

可以看到这种实现和上文中的思路是一样的，只是hash函数和计算各个方向上的影响计算进行了简化。

波形调整

可以看出柏林函数的输出具有“波”的特点，那么自然可以所有对于波的操作。

• 进行类似正弦波调幅、调频、调相，还可以上下偏移
  
  
  
  (f(x)=Asin(ωx+φ) + b 这里 A = 0.5, w = 2, φ = 1, b = 0.5)

• 波的叠加
  
  
  
  傅里叶变换说一个波可以由为n个波叠加而成，叠加结果如图所示。

波形的调整在实际应用中作用很大，如：

• 模拟生成地图中某个区域的地质运动剧烈，地形起伏很大，可以对波形调幅把振幅调大。
• 如果想让生成的波形更加连续，可以先调频（倍频）然后叠加

参考链接

• 跳转链接：perlin noise 柏林噪声算法作者论文
• 跳转链接：傅里叶变换介绍