洛谷P2125 题解

吐槽：

只能说这道题很数学，本数学蒟蒻推了半天没推出来，只知道要用绝对值，幸亏教练提醒，才勉强想出正解（似乎不是这样的），真的是很无语。

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以上皆为吐槽本题，可直接 跳过

分析：

• 既然题目是要使书架上的书一样多，那么就一定要求平均数了
  
  \(s=\sum_{i=1}^n book_i,s=s\div n\)，\(s\)即为平均数

• 继续分析，我们将平均数减掉，得出一个书架需要改变的量\(x_1,x_2,\)···\(x_n\),这时我们发现，我们可以得出一个方程组
  
  \(\begin{cases}x_1=a_1-a_n\\x_2=a_2-a_1 \\x_3=a_3-a_2\\\cdots\\x_n=a_n-a_{n-1}\end{cases}\)

  $\Longrightarrow $

  \(\begin{cases}a_1=x_1+a_n\\a_2=x_2+a_1 \\a_3=x_3+a_2\\\cdots\\a_n=x_n+a_{n-1}\end{cases}\)
  
  (其中\(a_i\)(\(i\in N^+\))为SY从\(i\)书架向下一个书架抱\(a_i\)本书）

  我们惊喜的发现，我们得出了这样一个方程组 \(\begin{cases} a_1=x_1+a_n\\ a_2=x_2+x_1+a_n\\ a_3=x_3+x_2+x_1+a_n\\ \cdots\\a_n=x_n+x_{n-1}+\cdots+x_1+a_n\end{cases}\)

• 得出以上方程之后，继续观察，发现第一问：SY最少抱多少本书，即求\(sum=\sum_{i=1}^n \left | a_i \right |\)的最小值(\(\left | a_i \right |\)表示数\(a_i\)的绝对值)
  
  得：\(sum= \left |y_1+a_n \right |+\left | y_2+a_n \right |+\left | y_3+a_n \right |+\cdots+\left | y_n+a_n \right |\)

  \(\because n \in E\)(\(E\)表示奇数集)

  \(\therefore\)当\(a_n=y_k\)(其中\(k=\frac{n}{2}+1\))时，\(sum\)有最小值。

  第一问迎刃而解~~~

• 剩下的便变得简单起来

  因为我们\(a_i\)设的是SY从\(i\)书架抱到到下一个书架的书籍
  
  所以SY从\(i\)书架抱到到上一个书架的书籍为\(-a_{i-1}\)

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部分代码

1.前缀和：

用于求\(y_i\)

for(LL i=1;i<=n;i++)
{
	sum[i]=sum[i-1]+book[i]-s; //前缀和标准写法
}

2.中位数：

用于求\(a_n\)

这里有两种方法：

• 法一：排序+查找（时间代价：总程序32ms）

sort(sum+1,sum+n+1);
LL mid=sum[n/2+1];//中位数

• 法二：nth_element（c++自带函数库，时间代价：总程序12ms）

nth_element(sum+1,sum+n/2+1,sum+n+1);
LL mid=sum[n/2+1];//更快的中位数求法

综上，nth_element要快很多,我的名字果然牛逼

具体用法：nth_element(头位置，中位数位置，尾位置);

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好吧，这道题数学分析很难，但代码确实很简单，比AC自动机，FFT，那些好多了

给你一个假代码（逃

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define Maxn 5000011
#define QwQ 1
#define QAQ 0
using namespace std;
int n;
LL book[Maxn];
LL s=0;
LL sum[Maxn];
LL s2=0;
LL veb[Maxn];
int main()
{
	cin>>n;
	for(LL i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&book[i]);
		s+=book[i];
	}
	s/=n;//平均数
	for(LL i=1;i<=n;i++)
	{
		sum[i]=sum[i-1]+book[i]-s;
		book[i]=sum[i];
	}
	sort(sum+1,sum+n+1);
	LL mid=sum[n/2+1];//中位数
	/*
	nth_element(sum+1,sum+n/2+1,sum+n+1);
	LL mid=sum[n/2+1];更快的中位数求法
	*/
	for(LL i=1;i<=n;i++)
	{
		s2+=abs(sum[i]-mid);
		veb[i]=book[i]-mid;
	}
	printf("%lld\n",s2);
	printf("%lld %lld\n",-veb[n],veb[1]);
	for(LL i=2;i<=n;i++)
	{
		printf("%lld %lld\n",-veb[i-1],veb[i]);
	}
	return mid==0?max(QwQ,QAQ):0;
}