【刷题】BZOJ 1413 [ZJOI2009]取石子游戏

Description

在研究过Nim游戏及各种变种之后，Orez又发现了一种全新的取石子游戏，这个游戏是这样的： 有n堆石子，将这n堆石子摆成一排。游戏由两个人进行，两人轮流操作，每次操作者都可以从最左或最右的一堆中取出若干颗石子，可以将那一堆全部取掉，但不能不取，不能操作的人就输了。 Orez问：对于任意给出一个初始一个局面，是否存在先手必胜策略。

Input

文件的第一行为一个整数T，表示有 T组测试数据。对于每组测试数据，第一行为一个整数n，表示有n堆石子；第二行为n个整数ai，依次表示每堆石子的数目。

Output

对于每组测试数据仅输出一个整数0或1。其中1表示有先手必胜策略，0表示没有。

Sample Input

1
4
3 1 9 4

Sample Output

0

数据范围

对于30%的数据 n≤5 ai≤105

对于100%的数据 T≤10 n≤1000 每堆的石子数目≤109

Solution

重要性质：

• 对于一段区间 \([L,R]\) ，若 \(L+1\) 到 \(R\) 的石子固定，那么让当前先手在这段区间上必败的 \(a_L\) 有且只有一个。 \pause

证明唯一：如果有两个必败态，那么由于其中一个必败态可以转移到另一个必败态，与定义矛盾，所以只会有一个必败态

证明存在：如果左边没有必败态，那么左边所有的必胜态都由右边的必败态转移过来。由于左边的石子可以有任意多个，但右边的石子是固定的，所以会有石子对应多个必败态，这与唯一性矛盾

根据这两条性质，得出一个做法

设 \(L[i][j]\) 代表区间 \([i,j]\) 左边加上一堆数量为 \(L[i][j]\) 的石子后先手必败；\(R[i][j]\) 定义相似，代表右边

最后只要判断 \(L[2][n]\) 是否等于 \(a[1]\) 就知道先手是否有必胜策略

考虑计算这两个数组：发现 \(L[i][j]\) 只与 \(L[i][j-1],R[i][j-1]\) 和 \(a[j]\) 有关

令 \(l=L[i][j-1],r=R[i][j-1],x=a[j]\)

分情况讨论

• 边界条件，\(L[i][i]=R[i][i]=a[i]\)

• \(r=x\) ，已经确定先手必败，\(L[i][j]=0\)

• \(x \le l\) 且 \(x \le r\) ，\(L[i][j]=x\) 。后手要做的就是在另一边取与先手一样数量的石子，这样先手一定先取完一堆。假设先手取完的是右边一堆，那么根据我们的 \(l=L[i][j-1]\) ，含义是区间 \([i,j-1]\) 左边加上数量为 \(l\) 的石子先手必败，可以把当前局面等价于先手已经把数量为 \(l\) 的这堆石子取了一些了，所以先手必败

• \(r \le x \leq l\) ，\(L[i][j]=x-1\) 。假设先手拿的左边一堆，拿到 \(y\) 个。若 \(y \le r\) ，那么后手在右边一堆也拿到 \(y\) 个，变成上面一种情况；若 \(y > r\) ，那么后手拿到 \(y+1\) ，变成当前情况递归。假设先手拿右边一堆，拿到 \(y\) 个。若 $ y \le r$ 那么后手在左边一堆也拿到 \(y\) 个，变成上面一种情况；若 \(y=r\) ，后手直接取完左边一堆，由于 \(R[i][j-1]=r\) ，所以先手必败；若 \(y > r\) ，那么后手将左边一堆取到 \(y-1\) ，变成这种情况递归。无论何种走向，最后只能是先手必败

• \(l \le x \leq r\) ，\(L[i][j]=x+1\) 。类似于上面一种情况

• \(x > l\) 且 \(x > r\) ，\(L[i][j]=x\) 。假设先手取其中一堆到 \(y\) 个。若 \(y > l,r\) ，那么变成这种情况递归；若 \(y \le l,r\) ，那么变成第二种情况；剩下的情况后手相应取到 \(y+1\) 或 \(y-1\) ，变成上面两种情况中的一种就好了

\(L[i][j]\) 的所有情况都讨论完了，\(R[i][j]\) 的求法类似。

复杂度 \(O(Tn^2)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define ft first
#define sd second
#define pb(a) push_back(a)
#define PII std::pair<int,int>
#define PLL std::pair<ll,ll>
#define mp(a,b) std::make_pair(a,b)
#define ITR(a,b) for(auto a:b)
#define REP(a,b,c) for(register int a=(b),a##end=(c);a<=a##end;++a)
#define DEP(a,b,c) for(register int a=(b),a##end=(c);a>=a##end;--a)
const int MAXN=1000+10;
int n,a[MAXN],L[MAXN][MAXN],R[MAXN][MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline bool chkmin(T &x,T y){return y<x?(x=y,true):false;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &x,T y){return y>x?(x=y,true):false;}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
int main()
{
	int T;read(T);
	while(T--)
	{
		int n;read(n);
		REP(i,1,n)read(a[i]),L[i][i]=R[i][i]=a[i];
		REP(len,2,n)REP(i,1,n-len+1)
		{
			int j=i+len-1,l,r,x;
			l=L[i][j-1],r=R[i][j-1],x=a[j];
			if(r==x)L[i][j]=0;
			else if(r<x&&x<=l)L[i][j]=x-1;
			else if(l<x&&x<=r)L[i][j]=x+1;
			else L[i][j]=x;
			l=L[i+1][j],r=R[i+1][j],x=a[i];
			if(l==x)R[i][j]=0;
			else if(l<x&&x<=r)R[i][j]=x-1;
			else if(r<x&&x<=l)R[i][j]=x+1;
			else R[i][j]=x;
		}
		puts(L[2][n]==a[1]?"0":"1");
	}
	return 0;
}