poj1222(枚举or高斯消元解mod2方程组)

题目链接: http://poj.org/problem?id=1222

题意: 有一个 5 * 6 的初始矩阵, 1 表示一个亮灯泡, 0 表示一个不亮的灯泡. 对 (i, j) 位置进行一次操作则 (i, j), (i + 1, j), (i - 1, j), (i, j - 1),  (i, j + 1) 位置的灯泡变为原来的相反状态, 输出一种能让所有灯泡都变成不亮状态的操作集合.

思路:

1. 可以先枚举第一行的所有操作集合, 2^6 种, 第一行的每一种操作后都得到一个灯泡状态集合, 然后再根据第一行的灯泡状态确定第二行的操作, 若 (1, j) 亮, 则(2, j) 必定要进行一次操作, 若(1, j) 不亮, 则 (2, j) 一定不能进行操作. 依次根据上一行的灯泡状态确定下一行的操作. 然后再对最后一行灯泡的状态进行检查, 若全部不亮则得到一个解.

代码:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 using namespace std;

 const int N = ;
 const int M = ;
 const int MAXN = ;
 int mp[MAXN][MAXN], sol[MAXN][MAXN];
 bool flag = false;
 int cas;

 bool check(void){
     int gel[MAXN][MAXN];
     memcpy(gel, mp, sizeof(mp));
     for(int i = ; i <= M; i++){
         if(sol[][i]){
             gel[][i] ^= ;
             gel[][i - ] ^= ;
             gel[][i + ] ^= ;
             gel[][i] ^= ;
             gel[][i] ^= ;
         }
     }
     for(int i = ; i <= N; i++){
         for(int j = ; j <= M; j++){
             if(gel[i - ][j]){
                 sol[i][j] = ;
                 gel[i][j] ^= ;
                 gel[i][j - ] ^= ;
                 gel[i][j + ] ^= ;
                 gel[i - ][j] ^= ;
                 gel[i + ][j] ^= ;
             }else sol[i][j] = ;
         }
     }
     for(int i = ; i <= M; i++){
         if(gel[N][i]) return false;
     }
     printf("PUZZLE #%d\n", cas);
     for(int i = ; i <= N; i++){
         for(int j = ; j <= M; j++){
             cout << sol[i][j] << " ";
         }
         cout << endl;
     }
     return true;
 }

 void dfs(int m){
     if(flag) return;
     if(m > M){
         if(check()) flag = true;
         return;
     }
     sol[][m] = ;
     dfs(m + );
     sol[][m] = ;
     dfs(m + );
 }

 int main(void){
     int t;
     cin >> t;
     for(cas = ; cas <= t; cas++){
         for(int i = ; i <= N; i++){
             for(int j = ; j <= M; j++){
                 cin >> mp[i][j];
             }
         }
         flag = false;
         dfs();
         if(!flag){
             printf("PUZZLE #%d\n", cas);
             cout << "inf" << endl;
         }
     }
     return ;
 }

2. 把 30 个灯泡对应的操作当作 30 个未知数, 其解为 1 或 0, 1 表示对该位置进行一次操作, 0 表示不对该位置进行操作, 每个操作对应一个 1* 30 系数矩阵, 1 表示进行该操作后这个位置的灯泡状态会改变, 0 表示进行该操作后该位置的灯泡状态不会改变. 然后可以列 30 个方程, 常数项为对应位置的灯泡初始状态. 然后直接用高斯消元解一下即可.

关于高斯消元:

高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。从最后一行开始回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
    这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。

这段话是从其他博客中摘过来的.

代码:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 const int MAXN = 3e2;
 int equ = , var = ;//有equ个方程,var个变元,增广矩正行数为equ,列数为var+1,从0开始计数
 int a[MAXN][MAXN];//增广矩正
 int free_x[MAXN];//用来存储自由变元(多解枚举自由变元可以使用)
 int free_num;//自由变元个数
 int x[MAXN];//解集

 int Gauss(void){//返回-1表示无解,0表示有唯一解,否则返回自由变元个数
     int max_r, col, k;
     free_num = ;
     for(k = , col = ; k < equ && col < var; k++, col++){
         max_r = k;
         for(int i = k + ; i < equ; i++){
             if(abs(a[i][col] > abs(a[max_r][col]))) max_r = i;
         }
         if(a[max_r][col] == ){
             k--;
             free_x[free_num++] = col;//这个是变元
             continue;
         }
         if(max_r != k){
             for(int j = col; j < var + ; j++){
                 swap(a[k][j], a[max_r][j]);
             }
         }
         for(int i = k + ; i < equ; i++){
             if(a[i][col] != ){
                 for(int j = col; j < var + ; j++){
                     a[i][j] ^= a[k][j];
                 }
             }
         }
     }
     for(int i = k; i < equ; i++){
         if(a[i][col] != ) return -;//无解
     }
     if(k < var) return var - k;//返回自由变元个数
     for(int i = var - ; i >= ; i--){
         x[i] = a[i][var];
         for(int j = i + ; j < var; j++){
             x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
         }
     }
     return ;
 }

 int main(void){
     int t, n;
     cin >> t;
     for(int cas = ; cas <= t; cas++){
         for(int i = ; i < ; i++){
             cin >> a[i][];
             x[i] = ;//清空数组
         }
         for(int i = ; i < ; i++){//构造增广矩阵
             int x1 = i / ;
             int y1 = i % ;
             for(int j = ; j < ; j++){
                 int x2 = j / ;
                 int y2 = j % ;
                 if(abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2) < ) a[j][i] = ;
                 else a[j][i] = ;
             }
         }
         Gauss();
         cout << "PUZZLE #" << cas << endl;
         for(int i = ; i < ; i++){
             cout << x[i] << " ";
             if((i + ) %  == ) cout << endl;
         }
     }
     return ;
 }