poj1753(高斯消元解mod2方程组)

题目链接：http://poj.org/problem?id=1753

题意：一个 4*4 的棋盘，初始时上面放满了黑色或白色的棋子．对 (i, j) 位置进行一次操作后 (i, j), (i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1), (i, j - 1) 位置的棋子会变成原来相反的状态．问最少需要多少步可以将棋盘上的棋子全部变成白色或者黑色．

思路：分别将棋子变成黑色和白色，然后再用高斯消元解，其中步数较小者即为答案．

注意不存在唯一解时需要枚举自由变元来取得最小步数．

代码：

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <algorithm>
 #include <string.h>
 using namespace std;

 const int inf = 1e9;
 const int MAXN = 3e2;
 int equ, var;//有equ个方程,var个变元,增广矩正行数为equ,列数为var+1,从0开始计数
 int a[MAXN][MAXN];//增广矩正
 int free_x[MAXN];//用来存储自由变元(多解枚举自由变元可以使用)
 int free_num;//自由变元个数
 int x[MAXN];//解集

 int Gauss(void){//返回-1表示无解,0表示有唯一解,否则返回自由变元个数
     int max_r, col, k;
     free_num = ;
     for(k = , col = ; k < equ && col < var; k++, col++){
         max_r = k;
         for(int i = k + ; i < equ; i++){
             if(abs(a[i][col] > abs(a[max_r][col]))) max_r = i;
         }
         if(a[max_r][col] == ){
             k--;
             free_x[free_num++] = col;//这个是变元
             continue;
         }
         if(max_r != k){
             for(int j = col; j < var + ; j++){
                 swap(a[k][j], a[max_r][j]);
             }
         }
         for(int i = k + ; i < equ; i++){
             if(a[i][col] != ){
                 for(int j = col; j < var + ; j++){
                     a[i][j] ^= a[k][j];
                 }
             }
         }
     }
     for(int i = k; i < equ; i++){
         if(a[i][col] != ) return -;//无解
     }
     if(k < var) return var - k;//返回自由变元个数
     for(int i = var - ; i >= ; i--){
         x[i] = a[i][var];
         for(int j = i + ; j < var; j++){
             x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
         }
     }
     return ;
 }

 const int n = ;
 string s[];

 int solve(void){
     int op = Gauss();
     if(op == -) return inf;//无解
     else if(op == ){//存在唯一解
         int sol = ;
         for(int i = ; i < var; i++){
             sol += x[i];
         }
         return sol;
     }else{//存在多解,需要枚举自由变元找到最小需要的操作数
         int sol = inf;
         int tot =  << op;//有op个变元,每个变元可取0或1,共有1<<op总情况
         for(int i = ; i < tot; i++){//二进制枚举,i二进制位上为1的取1,为0的取0
             int cnt = ;
             for(int j = ; j < op; j++){
                 if(i & ( << j)){//当前第j位变元取1
                     x[free_x[j]] = ;
                     cnt++;
                 }else x[free_x[j]] = ;
             }
             for(int j = var - op - ; j >= ; j--){
                 int idx;
                 for(idx = j; idx < var; idx++){
                     if(a[j][idx]) break;
                 }
                 x[idx] = a[j][var];
                 for(int l = idx + ; l < var; l++){
                     if(a[j][l]) x[idx] ^= x[l];
                 }
                 cnt += x[idx];
             }
             sol = min(sol, cnt);
         }
         return sol;
     }
 }

 void f(int op){
     for(int i = ; i < n; i++){
         for(int j = ; j < n; j++){
             int cnt = i * n + j;
             if(s[i][j] == 'w') a[cnt][var] =  - op;
             else a[cnt][var] = op;
             x[cnt] = ;
         }
     }
     for(int i = ; i < equ; i++){//构造增广矩阵
         int x1 = i / n;
         int y1 = i % n;
         for(int j = ; j < var; j++){
             int x2 = j / n;
             int y2 = j % n;
             if(abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2) < ) a[j][i] = ;
             else a[j][i] = ;
         }
     }
 }

 void gel(void){
     int sol = inf;
     f();
     sol = min(sol, solve());
     f();
     sol = min(sol, solve());
     if(sol == inf) cout << "Impossible" << endl;
     else cout << sol << endl;
 }

 int main(void){
     while(cin >> s[]){
         equ = var = n * n;
         for(int i = ; i < n; i++){
             cin >> s[i];
         }
         gel();
     }
     return ;
 }