【最短路】【数学】CSU 1806 Toll (2016湖南省第十二届大学生计算机程序设计竞赛)

题目链接：

　　http://acm.csu.edu.cn/OnlineJudge/problem.php?id=1806

题目大意：

　　N个点M条有向边，给一个时间T(2≤n≤10,1≤m≤n(n-1),1≤T≤10⁴)，每条边的花费是关于t的一次函数Ci*t+Di，而你能选择出发时间t(0<=t<=T)，走过边视为瞬间到达，不影响t,f(t)表示在时间t开始从1出发到n的最小花费，求

题目思路：

　　【最短路】【数学】

　　这题首先有个积分符号被吓到了，但是其实不难，N才10。

　　很容易想到枚举t，求1到n的最短路，累加答案完/T，其实也是这么做的。那么关键就在于怎么枚举t。

　　当然是把一个[0,T]若干等分，求面积积分。可以用梯形公式或者simpson公式求积分。

　　选定一种公式，对于区间[L,R],中点Mid,如果运用公式算得ans[L,Mid]+ans[Mid,R]=ans[L,R]，表示区间足够小已经没有误差，那么就可以直接得到[L,R]的答案。

　　否则，说明这种公式不能近似计算[L,R]的值，要把[L,R]继续细分为[L,Mid]和[Mid,R]，直到区间足够小以至于没有误差。

　　（simpson公式的精确度为三阶，梯形公式的精确度为一阶）

 //
 //by coolxxx
 //#include<bits/stdc++.h>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<string>
 #include<iomanip>
 #include<map>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<bitset>
 #include<memory.h>
 #include<time.h>
 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<string.h>
 //#include<stdbool.h>
 #include<math.h>
 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 #define abs(a) ((a)>0?(a):(-(a)))
 #define lowbit(a) (a&(-a))
 #define sqr(a) ((a)*(a))
 #define swap(a,b) ((a)^=(b),(b)^=(a),(a)^=(b))
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define eps (1e-10)
 #define J 10000
 #define mod 1000000007
 #define MAX 0x7f7f7f7f
 #define PI 3.14159265358979323
 #define N 14
 #define M 104
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 int cas,cass;
 int n,m,lll,ans;
 double anss;
 LL aans;
 int last[N],q[N];
 double d[N];
 int c[M][];
 bool u[N];
 struct xxx
 {
     int next,to;
 }a[M];
 void add(int x,int y)
 {
     a[++lll].to=y;
     a[lll].next=last[x];
     last[x]=lll;
 }
 double spfa(double t)
 {
     int i,now,to,l=,r=;
     for(i=;i<=n;i++)d[i]=MAX;
     mem(u,);
     q[]=;d[]=;
     while(l!=r)
     {
         now=q[l=(l+)%N];
         u[now]=;
         for(i=last[now];i;i=a[i].next)
         {
             to=a[i].to;
             if(d[to]>d[now]+c[i][]*t+c[i][])
             {
                 d[to]=d[now]+c[i][]*t+c[i][];
                 if(!u[to] && to!=n)
                 {
                     u[to]=;
                     q[r=(r+)%N]=to;
                 }
             }
         }
     }
     return d[n];
 }
 /*
 double tixing(double l,double r)
 {
     return (spfa(l)+spfa(r))*(r-l)/2;
 }
 */
 double simpson(double l,double r)
 {
     double mid=(l+r)/;
     return (spfa(l)+spfa(r)+*spfa(mid))*(r-l)/;
 }
 double work(double l,double r,double epss,double c)
 {
     double mid=(l+r)/,fl,fr;
     fl=simpson(l,mid);
     fr=simpson(mid,r);
 //    fl=tixing(l,mid);
 //    fr=tixing(mid,r);
     if(abs(fl+fr-c)<epss)return c;
     double x1=work(l,mid,epss/,fl);
     double x2=work(mid,r,epss/,fr);
     return x1+x2;
 }
 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
 //    freopen("1.txt","r",stdin);
 //    freopen("2.txt","w",stdout);
     #endif
     int i,j,k;
     int x,y,z;
 //    init();
 //    for(scanf("%d",&cass);cass;cass--)
 //    for(scanf("%d",&cas),cass=1;cass<=cas;cass++)
 //    while(~scanf("%s",s))
     while(~scanf("%d",&n))
     {
         anss=;lll=;mem(last,);
         scanf("%d%d",&m,&cas);
         for(i=;i<=m;i++)
         {
             scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&c[i][],&c[i][]);
             add(x,y);
         }
         anss=work(,cas,1e-,simpson(,cas));
 //        anss=work(0,cas,1e-6,tixing(0,cas));
         printf("%.12lf\n",anss/cas);
     }
     return ;
 }
 /*
 //

 //
 */