[AGC035F]Two Histograms

Description

你有一个 \(N\) 行、\(M\) 列的、每个格子都填写着 0 的表格。你进行了下面的操作:

• 对于每一行 \(i\) ,选定自然数 \(r_i\ (0 ≤ r i ≤ M )\)
  
  ,将这一行最左边的 \(r_i\) 个格子中
  
  的数 \(+1\).

• 对于每一列 \(i\) ,选定自然数 \(c_i\ (0 ≤ c i ≤ N )\)
  
  ,将这一列最上边的 \(c_i\) 个格子中
  
  的数 \(+1\).

这样,根据你选定的 \(r_1 , r_2 , . . . , r_N , c_1 , c_2 , . . . , c_M\) ,你就得到了一个每个格子要 么是 \(0\) ,要么是 \(1\) ,要么是 \(2\) 的一个最终的表格。

问本质不同的最终表格有多少种。 两个表格本质不同当且进当它们有一个对应格子中的数不同。

\(n, m\le 5\times 10^5\)

Solution

csy的题解：

组合数那里上下写反了，乘上 \(k!\) 是为了让选出来的k行k列一一匹配上，可以固定一个，另一个排列，就是 \(k!\).

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>

#define LL long long

using namespace std;

const int maxN = (int) 5e5;
const int mod = (int) 998244353;

LL qpow(LL a, LL b)
{
	LL ans = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

int n, m, ans;
int fac[maxN + 2], ifac[maxN + 2];

void init(int n)
{
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
	ifac[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
	for (int i = n - 1; i >= 0; --i) ifac[i] = 1ll * ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

int C(int n, int m)
{
	if (n < 0 || m < 0 || m > n) return 0;
	return 1ll * fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("AGC035F.in", "r", stdin);
	freopen("AGC035F.out", "w", stdout);
#endif

	scanf("%d%d", &n, &m);
	if (n < m) swap(n, m);
	init(n);
	for (int k = 0; k <= m; ++k)
	{
		ans += 1ll * qpow(-1, k) * C(n, k) % mod * C(m, k) % mod * fac[k] % mod * qpow(m + 1, n - k) % mod * qpow(n + 1, m - k) % mod;
		ans %= mod;
		(ans += mod) %= mod;
	}
	printf("%d\n", (1ll * ans + mod) % mod);
}