[Everyday Mathematics]20150204

设 $k_0>0$, $\phi:[k_0,\infty)\to[0,\infty)$ 是有界递减函数, 并且 $$\bex \phi(k)\leq \frac{A}{(k-h)^\al}\phi(h)^\beta,\quad k>h>k_0, \eex$$ 其中 $A,\al>0$, $0<\beta<1$. 试证: $$\bex \phi(k)\leq \frac{C_*}{k^\mu},\quad k>2k_0, \eex$$ 其中 $$\bex \mu=\frac{\al}{1-\beta},\quad C_*=2^{\mu+\frac{\mu}{1-\beta}}A^\frac{1}{1-\beta}. \eex$$

证明: 设 $$\bex \psi(h)=A^{-\frac{1}{1-\beta}} \phi(h), \eex$$ 则 $$\bex \psi(k)\leq\frac{1}{(k-h)^\al} \psi(h)^\beta,\quad k>h>k_0. \eex$$ 对 $k_0<h<k$, 定义序列 $$\beex \bea \psi(t_0)&\leq \frac{1}{(t_0-t_1)^\al} \psi(t_1)^\beta\\ &\leq \frac{1}{(t_0-t_1)^\al}\frac{1}{(t_1-t_2)^{\al \beta}} \psi(t_2)^{\beta^2}\\ &\leq \cdots\\ &\leq \prod_{j=1}^n (t_{j-1}-t_j)^{-\al \beta^{j-1}} \psi(t_n)^{\beta^n}. \eea \eeex$$ 注意到 $$\bex \prod_{j=1}^n (t_{j-1}-t_j)^{-\al \beta^{j-1}} =(k-h)^{-\frac{\al}{1-\beta}(1-\beta^n)} 2^{\al\sez{\frac{1-\beta^n}{(1-\beta)^n}-\frac{n\beta^n}{1-\beta}}}, \eex$$ 我们知取 $k>2k_0$, $h=k/2$ 后 $$\bex \psi(k)\leq \sex{\frac{k}{2}}^{-\frac{\al}{1-\beta}(1-\beta^n)} 2^{\al\sez{\frac{1-\beta^n}{(1-\beta)^n}-\frac{n\beta^n}{1-\beta}}} \psi(t_0)^{\beta^n}. \eex$$ 令 $n\to\infty$, 有 $$\bex \psi(k)\leq k^{-\mu}2^{\mu+\frac{\mu}{1-\beta}},\quad \phi(k)\leq \frac{2^{\mu+\frac{\mu}{1-\beta}}A^\frac{1}{1-\beta}}{k^\mu}. \eex$$