本文主要简述聚类算法族。聚类算法与前面文章的算法不同,它们属于非监督学习。

1、K-means聚类

记k个簇中心,为\(\mu_{1}\),\(\mu_{2}\),...,\(\mu_{k}\),每个簇的样本数为\(N_{i}\)
假设每个簇中的数据都满足分布\(N(\mu_{i},\sigma)\),即方差相同,均值不同的GMM。
则每一个样本点的分布函数为:\[\phi_{i}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\dfrac{({x_{i}-\mu})^2}{2\sigma^2})\]
可求出其似然函数
\[L_{\mu}=\phi_{1}\times\phi_{2}\times...\]
且可求其对数似然为(以三个点为例)
\[l_{\mu}=\dfrac{1}{2}\sum^{k}_{j=1}\sum^{i=1}_{N_{j}}(x_{I}-\mu_{j})^2\]
求驻点有:\[\mu_{j}=\dfrac{1}{N_{j}}\sum^{N}_{i=1}x_{i}\]
因此,以均方误差为目标函数的时候肯定是收敛的。用其他函数作为目标函数不一定收敛。

注:\(k\)的选择采用“手肘法”,注意不是交叉验证,它连标签都没有!

2、密度聚类

代表算法:DBSCAN

K-means对噪声敏感,密度聚类对噪声不敏感。

3、层次聚类

按层次聚类,由上至下或由下至上,优点是可以任意选择聚类数

4、谱聚类

Step1:对样本点俩俩计算相似度\(S_{ij}\),组成相似度矩阵,又称权值矩阵\[W_{n\times n}=[S_{ij}]\]

Step2:将\(W_{n\times n}\)的主对角线元素全部置为0,把每行元素的值相加,第\(i\)行的和为\(d_{i}\)。将\(d_{i}\)作为主对角线元素组成\(D_{n\times n}\)

Step3:令\[L_{n\times n}=D_{n\times n}-W_{n\times n}\],称为拉普拉斯矩
阵。这个\(L\)是半正定的,它最小的特征值为0。

Step4:求L矩阵的特征值和特征向量,将所有特征值从小大排列,取出前k个(聚类数为k),将其对应的特征向量如下排列:\[[u_{1},u{2},...,u_{k}]\]该矩阵的第一行即为第一个样本点转换后的特征,第二行为第二个样本点转换后的特征。将这些特征扔入K_means,其聚类结果即是谱聚类结果。

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